Quadratische Pyramide wie rechne ich mit O und A (Grundkante) Hs bzw ha aus?
Moin leute die aufgabe lautet Berechne hs,h und V einer quadratschen Pyramide mit einer Oberfläche von 39cm² und einer Grundkante von 3,0cm.
Mein problem ist ich komme nicht auf Hs aber brauche Hs um H mit dem pythagoras auszurechnen und h brauch ich für das Volum also hier meine hauptfrage wie kann ich Hs mit den gegebenen vorgaben errechnen? In den lösungen steht Hs ist gleich 4,8 (leider kein rechnen weg)
Jedesmal wen ich hs mit der Formel der Oberfläche also a² +2x a x hs ausrechnen will indem ich die umstelle krieg ich nur Müll raus
6 Antworten
Ich nehme mal an Oberfläche = Mantelfläche.
39 - 3² = 30 entspricht der Mantelfläche ohne den Boden. Da die Pyramide quadratisch ist, hat jede der vier Flächen 7,5cm². Ich nehme mal an hs ist die Gerade die von g/2 bis zur Spitze geht. g * hs / 2 = A_Dreieck --> 3 *hs / 2 = 7,5 <=> hs = 5.
g/2² + h² = hs² --> h = Wurzel(5² - 1,5²) = Wurzel(91) / 2
V = g² * h / 3 = 3² * Wurzel(91) / 6 = 3 * Wurzel(91) / 2 = 14,3090.
Okay, ich hab keine Ahnung wie da 4,8 rauskommen soll. Vielleicht findet jemand meinen Fehler ?
Da 2 * 3 * hs = 2 * 3 * 5 = 30 stimme ich dir vollkommen zu :)
Dann könnte meine Rechnung sogar in etwa hinkommen denke ich.
M=O-A und M berechnen; mit A=a²
M = 4 • 1/2 • a • hs nach hs umstellen;
hs = M / (2 • a)
Indem du von 39cm² die Grundfläche 9cm² abziehst hast du die Mantelfläche durch 4 geteilt eine Seitenfläche des gleichschenkligen Dreiecks. Durch diese bekommst du hs heraus und gehe den Gedankengang weiter ...!
Anhang zu meiner ersten Antwort:
Wenn du nicht die Tippel-Tappel-Tour aus einzelnen Rechnungen willst, dann hier die Formelumstellung:
A(ges.) = A(Grundfl.) + 4 A (Seitenfl.)
A(ges.) = a² + 4 * a/2 * ha
ha = (A - a²) / ( 2*a)
h² + (a/2)² = ha² daraus folgt
h² + (a²/4) = ((A-a²)/2a)²
h² = (A-a²)² /4a² - a²/4
h = Wurzel ((A-a²)² /4a² - a²/4)
Auch wenn das etwas verwirrend aussieht - du musst nur deine gegebenen Größen A (= 39 cm²) und a (=3 cm²) einsetzen, damit hast du keinerlei Fehlermöglichkeiten durch eventuelle fehlerhafte Zwischenergebnisse ... einfach Zahlenwerte einsetzen, Klammern ausrechnen, radizieren, fertig.
(Die Ergebnisse sind die gleichen wie bei der Schritt- für Schritt-Tour.)
Die ganze Geschichte ist viel einfacher, als du denkst.
Gesamtfläche 39 cm² bei einer Grundfläche von (3cm x 3 cm) = 9 cm² - da verbleiben 30 cm² für vier dreieckige Seitenflächen.
Also hast du pro Seitenfläche 30cm² /4 = 7,5 cm² Flächeninhalt.
Jetzt nimmst du dir ein Seiten"dreieck" mit der bekannten Grundseite von 3 cm und der Fläche von 7,5 cm².
Aus A (Dreieck) = 1/2 * Grundseite * hs bekommst du
hs = 2 * Fläche / Grundseite = 2 * 7,5 / 3 = 5 cm hs = 5cm
Jetzt musst du nur noch die Höhe der Pyramide über den Pythagoras berechnen.
Dafür hast du ein (eingeschriebenes) Dreieck aus hs, h und der Strecke zwischen Fußpunkt von hs und Mittelpunkt Grundfläche (= 3cm /2 = 1,5 cm).
Also gilt (hs)² = h² + (1,5)²
h = Wurzel (hs² - 1,5²) = Wurzel (25 - 2,25) = Wurzel (22,75).
Mein Abakus sagt, das sei 4,769 cm, also 4,8 cm.
also die oberflächen formel ohne G wäre dann ja 2 x 3 x hs also nur die mantel Fläche wie du gesagt hast