Optimierungsproblem bei einer Michtüte, wie geht das?
Hallo, wäre echt nett wenn mir einer bei der folgenden Aufgabe helfen kann:
Bestimme die zu wählenden Maße für eine Milchtüte mit quadratischer Grundfläche und einem Fassungsvermögen von 1000ml, so dass der Materialverbrauch der Verpackung minimal ist.
1 Antwort
V=1000ml=1 Liter=1000 cm³
Die gesuchte Größe liefert immer die Hauptgleichung (Hautbedingung)
hier ist das die Oberfläche der Milchtüte,die optimiert werden soll
1) O=2*a²+4*a*h O=Grundfläche+Deckfläche+Mantelfläche
2) V=a²*h Volumen=Grundfläche mal Höhe
aus 2) h=V/a² un 1)
O(a)=2*a²+4*a*V/a²
O(a)=2*a²+4*V/a nun eine Kurvendiskussion dürchführen.Extrema ermitteln
abgeleitet
O´(a)=0=4*a-4*V/a² siehe Mathe-Formelbuch,Differentationsregegeln,elementare Ableitungen
hier spezielle Quotientenregel (1/v)´=-1*v´/v²
(1/a)´=-1*a´/a²=-1*1/a²=-1/a²
0=4*a-4*V/a² multipliziert mit a²
0=4*a³-4*V ergibt a³=4/4*V ergibt a=3.te Wurzel(V)=3.te Wurzel(1000cm³)=10 cm
also a=10 cm
nun noch prüfen,ob ein Maximum oder Minimum
noch mal abgeleitet
O´´(a)=4+8*V/a³ (1/a²)´=-1*(a²)´/(a²)²=-2*a/a⁴=-2/a³
O´´(10)=4+8*1000cm³/(10cm)³=4+8=12>0 also ein Minimum
Maße der Milchtüte Breite=10 cm Länge=10 cm und Höhe=10 cm ist ein Würfel.
