Matheaufgabe zur Integralrechnung Flächen zwischen mehreren Flächen berechnen?
ich weiß nicht wie man auf die Gleichung g und h kommt Bei g weiß ich nur den Ansatz g(x)=a*x^2+5 aber wie kommt man auf a und h(x)? Bitte schnell Hilfe und eine Erklärung die Idiotensicher ist :D
2 Antworten
Hallo !
Das Problem an dem Bild ist, dass es sich echt Sch _ eisse ablesen lässt.
Ich würde grob skizziert so vorgehen -->
- Erstmal die Parabel bestimmen.
- Dann die Nullstellen der Parabel bestimmen.
- Dann die Fläche berechnen, die die Parabel zwischen ihren beiden Nullstellen mit der x-Achse einschließt.
- Von dieser Fläche dann die Fläche abziehen, die die Funktion f(x) mit der x - Achse einschließt und außerdem die Fläche von den beiden Dreiecken links und rechts abziehen. Die Geraden, die jeweils eine Seite der Dreiecke bilden, fangen an der x-Achse dort an, wo jeweils eine Nullstelle von f(x) liegt.
Meine einzige Befürchtung liegt darin, dass die Nullstellen der Parabel eventuell etwas über die Seiten hinausgehen, wo die Dreiecke ihre rechten Winkel bilden, sodass man einen sehr kleinen Fehler machen würde, der jedoch meiner Meinung nach zu vernachlässigen wäre.
Lass dir das mal von deinem Lehrer erklären, dafür ist der da.
Anmerkung :
Man müsste dann auch noch mal von den Nullstellen der Parabel bis zu der jeweiligen Dreiecksseite links und rechts auf dem Bild, die jeweils den rechten Winkel bildet, entlang der x-Achse integrieren und diese Flächen ebenfalls noch abziehen, wenn man das ganz ganz genau haben will.
Hallo,
wie DepravedGirl bereits schrieb, mußt Du zunächst die Gleichung der Parabel bestimmen, die die Straße beschreibt.
Du bestimmst diese mit Hilfe des Scheitelpunktes, der ja leicht abzulesen ist:
(0|5)
Es gilt also g(x)=ax²+5
Nun brauchst Du noch einen Punkt auf der Parabel, um a zu bestimmen.
Den liefert Dir der Schnittpunkt mit h, nämlich (4|1)
a*4²+5=1
16a=-4
a=-1/4
g(x)=(-1/4)x²+5
Davon ziehst Du f(x)=(-1/4)x^4+x² ab:
g(x)-f(x)=d(x)=(1/4)x^4-(5/4)x²+5
Nun integrierst Du von -4 bis 4, also zwischen den x-Koordinaten der Schnittpunkte von g(x) mit k und h und bildest dazu eine Stammfunktion (das +C schenken wir uns)
D(x)=(1/20)x^5-(5/12)x^3+5x
Du rechnest D(4)-D(-4) und bekommst so die Fläche zwischen g(x) und f(x) in den Grenzen von -4 bis 4.
Am Ende ziehst Du vom Ergebnis noch die Fläche der beiden rechtwinkligen Dreiecke zwischen k, x-Achse und der Senkrechten durch x=-4 sowie zwischen h, x-Achse und der Senkrechten durch x=4 ab, was mit einfachen Geographiekenntnissen zu machen ist.
Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produkts der Länge seiner Katheten.
Da Du hier zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke hast, sparst Du Dir das Halbieren und rechnest einfach das Produkt der beiden Katheten eines Dreiecks aus:
2*1=2
Du mußt also 2 FE vom Ergebnis am Ende abziehen.
Daran denken, daß eine LE 100 m, eine FE demnach 10000 m² bedeutet
Herzliche Grüße,
Willy
ich habe jetzt alle Gleichungen geichgesetzt also jeweils immer zwei und kam am Ende bei h und f auf eine Fläche von 3,66 LE, bei g und h auf eine Fläche von 41,66 LE und bei g und f habe ich jetzt die Grenzen 4 und -4 genommen und kam auf 89,06 LE was muss ich jetzt die beiden minus die 89 rechnen? Da kam auf 43 Quadratkilometer was für mich viel zu groß ist
und was muss man denn bei c machen??
Lies Dir bitte DepravedGirls Einwand durch und die Kommentare hier.
Ich hatte bei meriner Antwort nicht bedacht, daß ich f(x) nur in den Grenzen von -2 bis 2 abziehen darf, sonst fließt ein großer Bereich unterhalb der x-Achse in die Berechnung mit ein, was nicht sein darfst.
Du berechnest also g(x) in den Grenzen von -4 bis 4, ziehst davon 2 FE für die beiden kleinen Dreiecke ab und davon noch das Integral von f(x) in den Grenzen von -2 bis 2.
So kommst Du auf 25,5 FE.
Willy
Bei Aufgabe c mußt Du anhand der drei gegebenen Punkte eine Parabelgleichung formen, die Schnittpunkte mit g(x) herausfinden und die Fläche zwischen den beiden berechnen.
Da die Funktionswerte für -3 und 3 gleich sind, muß sich der Scheitelpunkt genau dazwischen, also bei x=0 befinden.
Somit ist B=(0|2) der Scheitelpunkt der Parabel, die somt die Form
n(x)=ax²+2 hat.
a berechnest Du, indem Du Punkt a oder C in die Gleichung einsetzt und nach a auflöst:
0,5=9a+2
9a=-1,5
a=-1/6
n(x)=(-1/6)x²+2
Gleichsetzen mit g(x)=(-1/4)x²+5
(-1/6)x²+2=(-1/4)x²+5
(1/12)x²=3
x²=36
x=-6 oder x=6
Das sind die Integralgrenzen für g(x)-n(x)=(-1/12)x²+3
Eine Stammfunktion dazu lautet: (-1/36)x³+3x
Nun einmal für x eine 6 einsetzen, dann eine -6 und das eine vom andere abziehen. Anschließend durch 100 m² teilen.
So kommst Du auf 24 FE=24*10000 m², was 2400 Parzellen von je 100 m² ergibt.
Allerdings weiß ich nicht, ob bei c auch noch die Bucht und die Dreiecke berücksichtigt werden sollen. Dann mußt Du natürlich etwas anders rechnen und die Flächen wieder aufteilen und einzeln berechnen.
Gleichsetzen ist hier wichtig, weil Du ja nur die Fläche zwischen beiden Kurven berechnest.
Oder meinst Du die Aufgabe b? Da brauchst Du die Schnittpunkte nicht, weil sich beide Kurven im relevanten Bereich ohnehin nicht schneiden. Hier sind vielmehr die Nullstellen und die Schnittpunkte mit den beiden Geraden wichtig.
Ich sehe gerade, daß n sogar eingezeichnet ist (die schwache weiße Linie).
In diesem Fall integrierst Du g(x) von -4 bis 4, ziehst davon das Integral von n(x) von -3 bis 3 ab und danach noch 1,5 FE wegen der beiden kleine Geraden. Ergibt 18,83 FE und somit 18,83 Parzellen.
Tschulligung: 24 Parzellen natürlich. Hat sich aber erledigt, weil ohnehin anders vorgegangen werden muß. Bezog sich auf den Kommentar weiter oben.
Darf man denn von -4 bis 4 integrieren ?, weil ja die Funktion f(x) an den Stellen x = -2 und x = +2 ihre Nullstellen hat.
Würdest du die Funktion d(x) = (1/4)x^4-(5/4)x²+5 von -4 bis +4 integrieren, dann würdest du doch außer acht lassen, dass die Funktion f(x) zwischen -4 bis -2 und +2 bis +4 gar nicht mehr mitgerechnet wird, oder ?
Du hast aber d(x) über die volle Länge von -4 bis +4 integriert, das würde ja bedeuten, dass du zwischen -4 bis -2 und +2 bis +4 die Funktion f(x) noch unterhalb der x-Achse mitintegriert hättest, oder mache ich da gerade einen Denkfehler ??
Ich habe unter meiner Antwort auch noch mal eine Anmerkung zusätzlich geschrieben.
Du hast recht.
Du mußt g(x) von -4 bis 4 integrieren, davon 2 FE abziehen wegen der beiden kleinen Dreiecke und davon die Fläche unter f(x) in den Grenzen von -2 bis 2, sonst kommt die Fläche unterhalb der x-Achse noch hinzu und verfälscht das Ergebnis.
Danke für den Hinweis.
Willy
Außerdem stellte ich gerade fest, dass die Funktion g(x) = (-1/4)x²+5 ihre Nullstellen bei x _ 1, 2 = ∓ (2 * √(5)) hat, die Dreiecksseiten, die den rechten Winkel bilden aber scheinbar bei x = -4 und x = +4 runtergehen, sodass die Parabel tatsächlich etwas über die Dreiecksseiten hinaus geht.
Man müsste also g(x) auch noch mal von - (2 * √(5)) bis -4 und von +4 bis +(2 * √(5)) integrieren und diese Flächen dann auch noch mal abziehen.
Vielen Dank Willy, dank dir musste ich noch mal über alles nachdenken, ich glaube es jetzt einigermaßen verstanden zu haben.
Ich finde diese Aufgabe ist ziemlich umfangreich.
Das mußt Du nicht, weil h und k die Grenzen bilden. Dort ist die Grünfläche zu Ende.
Du kannst also die kurzen Katheten der beiden Dreiecke als Integrationsgrenzen nehmen. Ob die Parabel noch darüber hinausgeht, spielt keine Rolle, da das Grundstück bei h und k endet.
Bezog sich auf die Nullstellen von g(x)
Aber Dein Hinweis wegen der Nullstellen von f(x) war auch äußerst nützlich. Da habe ich echt nicht aufgepaßt.
Die Nullstellen brauchst Du nicht. Du integrierst einfach zwischen -4 und 4,da die Geradenstücke h und k die Parzelle begrenzen.
Herzliche Grüße,
Willy