Mathe Lösung?

Brauche Hilfe bei einer Lösung :)

Sie sind beim Einkaufen und wollen eine Getränkekiste mit

3 × 4 = 12 Fächern mit den Sorten Mineralwasser, Apfelsaft, Orangensaft, Cola füllen.

(Hierbei unterscheiden wir nur die Sorten!) Wie viele Möglichkeiten gibt es, . . .

(a) wenn beliebige Kombinationen zugelassen sind,

(b) wenn jede Sorte mindestens einmal vorkommen muss?

Mein Ansatz mit einem Kombinatorikrechner:

a)

(n + m - 1)! / ((n - 1)! * m!) = 1365

b)

n! / ((n - m)! * m!) = 495

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

die Formel lautet (n+k-1) über k. Geht auch mit m und n.

Die Frage ist nur, was k und was n ist.

Hier sind es k Fächer und n Sorten, denn es soll ja egal sein, wieviele Flaschen von jeder Sorte im Kasten sind. Du verteilst also die 12 Plätze im Kasten an die vier Sorten, bis alles Plätze verteilt sind - und zwar so, daß für jeden Platz eine Sorte zufällig ausgelost wird, deren Los nach der Auslosung wieder zurück in den Topf geworfen wird. Da nach der 12. Ziehung die Sache gelaufen ist, geht nur elfmal eine Sorte zurück in den Topf, es stehen also 4+11=15 Lose zur Verfügung. Daher kommt die -1 in der Formel.

Der erste Platz im Kasten zieht sich also aus dem Topf eins der vier Sortenlose, schnappt sich die entsprechende Flasche und wirft das Los zurück. Dann kommt der zweite Platz dran usw. bis alle Plätze gefüllt sind. Mit n=4 und k=12 hast Du also (4+12-1) über 12 gleich
15 über 12 gleich 455 Möglichkeiten, den Kasten zu füllen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, sondern nur, wieviele Flaschen von jeder Sorte im Kasten sind.

Soll von jeder Sorte mindestens eine vorhanden sein, sind vier Plätze im Kasten schon belegt mit jeweils einer Sorte. Es geht also nur noch um die übrigen acht Plätze. Nun ist n=4 und k=8 und es gibt daher 11 über 8=165 Möglichkeiten.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[Willy1729]

Deine Lösung von a), nämlich 1365, wäre die Antwort auf die Frage, auf wie viele Arten man insgesamt vier Flaschen auf 12 Plätze im Kasten verteilen kann, wenn auch alle vier Flaschen in einem einzigen der Fächer stecken dürften (was schon aus Platzgründen gar nicht möglich wäre - es sei denn, der Kasten wäre ein 12x1 Liter-Colakasten und die Flaschen wären vier Kleine Feiglinge.

Da wären es insgesamt vier Flaschen, die unter sich 12 Plätze im Kasten auslosen würden, wobei jedes Los nach dem Ziehen zurück in die Urne geht.