(Lineare Unabhägigkeit) kann mir jmd diese Lösung erklären?
Lösung:
Hey, ich verstehe nicht, warum lambda_0=...=lambda_3=0 sein soll. Könnte es mir jmd erklären? Vielen Dank im Voraus.
2 Antworten
Linear unabhängig sind die Vektoren ja genau dann, wenn der Nullvektor nur durch ihre triviale Linearkombination (d.h. alle lambda =0) darstellen lässt. Wählst du jetzt eine beliebige Kombination von lambda ungleich 0, so erhältst du immer ein Polynom, das höchstens drei Nullstellen in den komplexen Zahlen hat, d.h. du bekommst den vierdimensionalen Nullvektor auf diesem Weg nicht.
Also ist die einzige Möglichkeit den 4-dim. Nullvektor zu erhalten, alle lambda=0 zu setzen, was die Definition der linearen Unabhängigkeit erfüllt.
Bedenke, dass in der Gleichung " O = lambda_0·tau_0 + lambda_1·tau_1 + ... " auf der linken Seite nicht die Zahl 0, sondern die Nullfunktion O steht (das ist der Nullvektor des Raumes V!), d.h. bei dem Polynom auf der rechten Seite muss bei Einsetzen eines beliebigen x-Wertes stets die Zahl 0 herauskommen. Da ein Polynom vom Grad n (über einem Körper) höchstens n Nullstellen haben kann, erschließt du daraus zunächst, dass lambda_3 = 0 gelten muss ; danach, dass lambda_2 = 0 gelten muss usw. Es folgt, dass alle Koeffizienten lambda_j gleich 0 sein müssen.
(Die anfängliche Annahme, dass das Quadrupel der lambda-Werte nicht das 0-Quadrupel ist, solltest du streichen; denn man sieht sich eine beliebige Linearkombination der Funktionen an, die die Nullfunktion ergibt, und erschließt dann wie angegeben, dass alle Koeffizienten gleich 0 sind. Das ist der direkte Weg zur linearen Unabhängigkeit. Also nicht erst annehmen, mindestens einer wäre ungleich 0 und dann triumphierend einen Widerspruch konstatieren...)