Könnte mir jemand diese Fragen zu Matrizen beantworten?

Answer 1

[mihisu]

====== Obere Aufgabe im Bild ======

1. falsch

Gegenbeispiel:

$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

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2. falsch

Gegenbeispiel:

$A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$

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3. richtig.

Für beliebige Spaltenvektoren...

$c=\begin{pmatrix}c_1 \\ \vdots \\ c_m\end{pmatrix}\in K^{m}\text{ und }d=\begin{pmatrix}d_1 \\ \vdots \\ d_m\end{pmatrix}\in K^{m}$

jeweils mit m Elementen über einem Körper K gilt:

$c^T\, d=\sum\limits_{k=1}^{m}c_k\cdot d_{k}\overset{(*)}{=}\sum\limits_{k=1}^{m}d_k\cdot c_{k}=d^T\, c$

An der Stelle (*) ist dabei die Kommutativität im Körper K eingegangen.

[Beachte: Man kann auch allgemeiner Matrizen und Vektoren über nicht-kommutativen Ringen betrachten. Dann wäre das nicht mehr unbedingt erfüllt. Jedoch wird man wohl davon ausgehen können, dass es um Matrizen und Vektoren über Körpern geht, wenn nichts weiter dazu gesagt wird.]

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4. richtig?

Ich kenne den Begriffe „gleichartige Matrizen“ nicht. Vermutlich ist damit gemeint, dass es beides Matrizen über dem gleichen Körper (bzw. Ring) mit gleicher Zeilenanzahl und gleicher Spaltenanzahl sein sollen. Dann... Ja, das ist richtig.

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5. falsch

Ich kenne den Begriffe „gleichartige Matrizen“ nicht. Vermutlich ist damit gemeint, dass es beides Matrizen über dem gleichen Körper (bzw. Ring) mit gleicher Zeilenanzahl und gleicher Spaltenanzahl sein sollen. Dann... Nein, das ist falsch.

Gegenbeispiel:

$E=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}\text{ und }F=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}$

Hier kann das Produkt EF nicht berechnet werden, da die Spaltenanzahl von E nicht mit der Zeilenanzahl von F übereinstimmt.

====== Untere Aufgabe im Bild ======

1. falsch

Gegenbeispiel: B könnte beispielsweise auch die Einheitsmatrix sein.

Wenn man nachrechnet, kann man übrigens darauf kommen, dass genau die die Matrizen...

$B=\begin{pmatrix}\lambda-3\mu & 2\mu \\ 2\mu & \lambda\end{pmatrix}\quad\text{mit }\lambda\ne 4\text{ und }\mu\ne 1$

... die Gleichung AB = BA mit A ≠ B erfüllen. [Und für λ ≠ 0 oder μ ≠ 0 ist B nicht die Nullmatrix.] Aber so genau muss man das in der Aufgabe nicht nachrechnen. Die Einheitsmatrix als Gegenbeispiel reicht.

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2. falsch

Gegenbeispiel: B könnte beispielsweise auch die Nullmatrix sein.

Wenn man nachrechnet, kann man übrigens darauf kommen, dass genau die die Matrizen...

$B=\begin{pmatrix}\lambda-3\mu & 2\mu \\ 2\mu & \lambda\end{pmatrix}\quad\text{mit }\lambda\ne 4\text{ und }\mu\ne 1$

... die Gleichung AB = BA mit A ≠ B erfüllen. [Und für λ ≠ 1 oder μ ≠ 0 ist B nicht die Einheitsmatrix.] Aber so genau muss man das in der Aufgabe nicht nachrechnen. Die Nullmatrix als Gegenbeispiel reicht.

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3. falsch

$\det(A)=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix}=1\cdot 4-2\cdot 2=4-4=0$

Da die Determinante gleich 0 ist, ist A nicht invertierbar.
Eine entsprechende Matrix B müsste aber eine zu A inverse Matrix sein.

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4. richtig

$\left(\begin{array}{cc|c}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2\end{array}\right)\xrightarrow{\text{Z}_2-2\cdot \text{Z}_1}\left(\begin{array}{cc|c}1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$

Wenn man also die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems mit Gauß-Algorithmus auf Zeilenstufenform bringt, so entsteht eine komplette Nullzeile. Das Gleichungssystem ist dementsprechend nicht eindeutig lösbar, sondern hat unendlich viele Lösungen.

Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist übrigens...

$\left\lbrace \begin{pmatrix}1-2\lambda\\\lambda\end{pmatrix}\middle|\lambda\in\mathbb{R}\right\rbrace$

[... wenn man die reellen Zahlen als Grundkörper annimmt.]

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5. falsch

Da det(A) = 0 ist, wie man bereits für 3. berechnet hat, kann das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar sein.

Wenn man weiter nachrechnet...

$\left(\begin{array}{cc|c}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3\end{array}\right)\xrightarrow{\text{Z}_2-2\cdot \text{Z}_1}\left(\begin{array}{cc|c}1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$

... kann man [entsprechend der unteren Zeile in der Zeilenstufenform] die Gleichung 0 = 1 erkennen, welche für alle x falsch ist. Das Gleichungssystem hat also nicht genau eine Lösung, sondern das Gleichungssystem hat keine Lösung.

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6. richtig

Für alle n ∈ ℕ mit n ≥ 2 ist Aⁿ = 5ⁿ⁻¹ ⋅ A.

$A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}$

$A^2=\begin{pmatrix}5&10\\10&20\end{pmatrix}=5\cdot \begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}=5\cdot A$

$A^3 =A^2\cdot A=5\cdot A\cdot A=5\cdot A^2=5\cdot 5\cdot A=5^2\cdot A$

$\vdots$

$A^n=A^{n-1}\cdot A=5^{n-2}\cdot A\cdot A=5^{n-2}\cdot A^{2}=5^{n-2}\cdot 5\cdot A=5^{n-1}\cdot A$