Kann mir jemand mit dieser Komponentengleichung weiterhelfen?
Es geht um die Koordinatengleichung der Ebene (mit Normalenvektor). Anscheinend muss ich schrittweise die beiden Parameter s und t eliminieren. Dafür macht man hier Gebrauch von folgendem:
A(3/0/6) | B(6/-6/-4) | C(-2/-4/4)
Daraus bildet man die Vektoren AB und AC:
AB(3/-6/-10) | AC(-5/-4/-2)
...daraus resultiert folgende Parametergleichung der Ebene:
Ich verstehe jetzt von der ganz oben stehenden Rechnung, in der man s und t schrittweise eliminieren sollte, praktisch nichts. Nur, dass man x=[...], y=[...], z=[...] alleine hinschreibt; aber danach nichts mehr.
Scheinbar kommt als Normalenvektor (durch das Eliminieren von s und t) folgendes raus: (2/-4/3). Ich verstehe aber nicht, wie man darauf kommt.
Ich entschuldige mich für die umständliche Frage. Kann mir aber jemand weiterhelfen? Danke.
1 Antwort
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
durch Additionsverfahren s und t eliminieren
x, y und z werden wie Zahlen behandelt. Nur die beiden Parameter s und t werden durch Umformen (multiplizieren und addieren) eliminiert
direkt aus der Parameterform erhält man folgendes LGS:
x=3+3s-5t
y=0-6s-4t
z=6-10s-2t
zweimal erste Gleichung plus zweite Gleichung ergibt:
2x+y=6-14t
3s wurde durch Multiplikation auf 6s erweitert, so dass s dann durch Addieren rausfällt.
um eine weitere Gleichung ohne s zu erhalten kann man beispielsweise die zweite mit -5 multiplizieren und die dritte mit 3 dann beide addieren (dann wurden beide 30s bzw -30s erweitert)
-5y+3z=18+14t
man hat dann folgende beide Gleichungen ohne s
2x+y=6-14t
-5y+3z=18+14t
diese kann man direkt addieren (ohne vorher passend zu multiplizieren), dann fällt t raus:
2x-4y+3z=24
das ist die Koordinatenform der Ebenengleichung
den Normalenvektor kann man direkt ablesen (Zahlen vor x,y und z):
Vektor n = (2 -4 3)
alternativ kann der Normalenvektor auch als Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnet werden. Das ist heutzutage eigentlich Standardmethode.
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Ich komme damit auf auf den Kreuzvektor (-28/56/-42). Alle davon könnte man mit 14 dividieren, demnach wäre es (-2/4/-3), aber in der Lösung ist es ja (2/-4/3)... was mache ich falsch? :(
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du kannst dann noch durch -1 kürzen, dann sind beide gleich
das Vektorprodukt hast du also richtig ausgerechnet
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Huch, macht man dass immer so?! Danke dir :)
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den Normalenvektor zu vereinfachen ist schon sinnvoll, weil man dann kleinere Zahlen hat. Man sollte aber vermeiden, dass Brüche vorkommen. Ob man in dem Fall jetzt durch 14 oder durch -14 dividiert (kürzt) ist egal.
Wenn ich den Kreuzvektor berechne, komme ich aber auf was ganz anderes... Sind (3/-6/-10) und (-5/-4/-2) denn die falschen Vektoren, um den Normalenvektor zu berechnen...?