Kann mir jemand bei dieser Mathe Aufgabe helfen?
Der Aufgabentext erscheint unvollständig.
Ich habe nachgefragt bei der heißt es außerdem noch, dass die Summe von a und b 3 ist
2 Antworten
Maximiere a b unter der Nebenbedingung a + b = 3.
Lösungb = 3 - a
a ⋅ b = a ⋅ (3 - a) = -a² + 3a
Für a = x gilt:
-x² + 3x = -(x - 1,5)² + 2,25
Der Scheitelpunkt von f(x) = -(x - 1,5)² + 2,25 ist S(1,5 | 2,25), somit kann das Produkt von a und b höchstens 2,25 sein.
Allgemeines VorgehenBei solchen Optimierungsaufgaben löse die Nebenbedingung nach einer Variable auf und setze diese in den zu minimierenden oder maximierenden Term ein. In der Aufgabe ist die Nebenbedingung a + b = 3 und es wird nach b aufgelöst. In den Term a ⋅ b wird dann 3 - a für b eingesetzt. Es entsteht ein quadratischer Term, der durch quadratische Ergänzung in Scheitelpunktform gebracht wird. Im Scheitelpunkt ist die Funktion minimal oder maximal, je nach Vorzeichen vor dem x², was auch auch noch zu überprüfen ist. Wenn es die Aufgabe wäre, zu minimieren, gäbe es nämlich keine Lösung, da die nach unten geöffnete Parabel nach unten unbeschränkt wäre, außer man schränkt den Definitionsbereich ein und erlaubt z.B. keine negativen Zahlen.
Dankeschön sehr hilfreich und dazu noch gut erklärt jetzt verstehe ich es
- b=3
- a⋅b=a⋅(x−3)a⋅b=a⋅(x−3)
- a⋅b=a⋅(x−3)=−a2a⋅b=a⋅(x−3)=−a2
- Für a=xa=x gilt: −x2=−(x−3)2=−(x−3)(x−3)−x2=−(x−3)2=−(x−3)(x−3)
- Der Scheitelpunkt von f(x)=(x−3)2+9f(x)=(x−3)2+9 ist S(3,9)S(3,9).
- Somit kann das Produkt von a und b höchstens 9 sein.
