Kann eine Mathe Formel fürs Roulette nicht verstehen.
Hallo! Also, am Montag muss ich in Mathe ein Referrat über Glücksspiele bzw. Roulette halten. Also eben die Wahrscheinlichkeit, dort zu gewinnen, bzw. zu verlieren usw. Ich habe mich, auf einer Website ein klein wenig über das Thema informiert, und nunja. Da ist ein kleiner Text zu Roulette, und ebenfalls eine Formel.
hier der Text:
Roulette Übernehmen: pfeilnachoben
Das bekannteste Glücksspiel in Spielcasinos ist Roulette. Beim Roulette gibt es 37 gleichwahrscheinliche Ausfälle, nämlich 0, 1, 2, …, 36. Setzt ein Spieler auf eine der Zahlen und fällt die Kugel auf diese, erhält er das 36-Fache seines Einsatzes (einschließlich des Einsatzes) ausgezahlt; andernfalls ist der Einsatz verloren. Er kann jedoch ebenso auf gewisse Teilmengen der 37 Roulettezahlen setzen, z. B. auf »Rot« (18 Zahlen), eine »Kolonne« (eine Spalte des Spieltischs mit 12 Zahlen), ein »Carré« (ein Quadrat mit 4 Zahlen) u. Ä. Setzt der Spieler allgemein auf d Zahlen (wobei d immer ein Teiler von 36 ist) und fällt eine dieser Zahlen, beträgt der Gewinn das 36/d-Fache des Einsatzes; andernfalls ist der Einsatz verloren.
Im eingangs genannten Sinne ist Roulette nicht fair, wie das Spiel auf eine einzelne Zahl zeigt: Beträgt der Einsatz X, so ist der Erwartungswert des Gewinns
Die Formel:
1/37 * 35X + 36/37(-X) = -1/37
Setzt ein Spieler dieselbe Zahl sehr oft, muss er im Mittel also damit rechnen, 1/37 ≈ 3 % seiner Einsätze zu verlieren.
So, nun ich verstehe nicht ganz woher die 35X kommen. Auch verstehe ich nicht was die Woher die 36/37 herkommen. Bitte, dieses Referrat ist sehr wichtig.
Danke im Vorraus.
Gruß, Seriousnukem
2 Antworten
Der Erwartungswert ist gleich der Summe der Produkte aus den Werten der einzelnen Ereignisse xk und deren Wahrscheinlichkeiten pk.
E = Summe [k=1...n] ( xk * pk )
Beim beschriebenen Roulette gibt es n = 37 Ereignisse. Setzt man einen Einsatz von X Euro auf eines von ihnen und tritt es ein, dann erhält man das 36-fache des Einsatzes zurück. Abzüglich des Einsatzes hat man dann also das 35-fache des Einsatzes hinzugewonnen. Tritt ein anderes Ereignis ein, dann hat man den Einsatz von X Euro verloren.
Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen beträgt 1 / 37, der Wert des Gewinnes (abzüglich des Einsatzes) beträgt dann 35 * X.
Die Wahrscheinlichkeit zu verlieren beträgt 36 / 37, dabei verliert man den Einsatz X, der Gewinn beträgt dann also ( - X ).
Für den Erwartungswert bedeutet das:
Sei x1 der Wert des Gewinnereignisses ( x1 = 35 * X ) und x2, x3 , ... , x37 die Werte der Verlustereignisse ( x2 = x3 = ... = x37 = - X ).
Seien außerdem p1, p2, ..., p37 die Wahrscheinlichkeiten für alle diese Gewinn- bzw. Verlustereignisse ( p1 = p2 = ... = p37 = 1 / 37 ).
Dann gilt:
E = SUMME [ k = 1..37 ] ( xk * pk )
= x1 * p1 + SUMME [ k = 1..37 ] ( xk * pk )
[Da in der SUMME xk und pk für alle k gleich sind (nämlich xk = - X und pk = 1 / 37 ) kann man sie als Faktoren vor die Summe ziehen:]
= 35 * X * ( 1 / 37 ) + ( - X ) * ( 1 / 37 ) * SUMME [ k = 2..37 ] ( 1 )
= 35 * X * ( 1 / 37 ) + ( - X ) * ( 1 / 37 ) * 36
= 1/37 * 35 X + 36/37(-X) = -1/37
Und das ist die von dir angegebene Formel.
.
Ein Spiel heißt übrigens dann "fair", wenn der Erwartungswert den Wert Null hat.
Vielen dank! Jetzt bin ich bereit für mein Referat! :)
Verd... !
3 mal gelesen und doch noch ein Fehler ... tut mir Leid ..
In der Zeile
= x1 * p1 + SUMME [ k = 1..37 ] ( xk * pk )
muss es natürlich heißen: k = 2..37, denn das Produkt für den Index k = 1 habe ich ja bereits vor die Summe gezogen. In der weiteren Berechnung habe ich es dann auch wieder richtig gemacht ...
Verstehe von Statistik nicht viel, kann es also nur in Worten erklären:
1/37 ist die Wahrscheinlichkeit eines Treffers. Da bei 0 (W=1/37) die Bank X kassiert und der Einsatz X nicht rückvergütet wird, gehen 2/37 * X ab, also nur 35X, als für den Spieler positiver Betrag. Sein Verlust ist aber W=36/37 wahrscheinlich (37/37-1/37), daher der für den Spieler negative Betrag 36/37 * X
Da bei 0 (W=1/37) die Bank X kassiert und der Einsatz X nicht rückvergütet wird, gehen 2/37 * X ab, also nur 35X, als für den Spieler positiver Betrag.
Das ist leider nicht die richtige Begründung für die 35. Denn die Null wird ja nicht anders behandelt als die übrigen Zahlen - auch auf sie kann man setzen und gewinnen.
Die 35 ergibt sich, weil man für einen Einsatz von X Euro bei einem Gewinn 36 X Euro zurückerhält. Der Reingewinn eines solchen Spieles (also der Gewinnbetrag abzüglich des Einsatzbetrages) ist dannn aber eben nur 36 X - 1 X = 35 X.
im Übrigen ist Roulette wahrscheinlich noch das fairste Spiel von allen Vergleichbaren. Dass die Bank immer gewinnt, ist ja das Geschäftsmodell der Bank.
Die Höhe der Gewinnsumme für die Bank ergibt sich aus der Zahl der Spieler und der Höhe ihrer Einsätze, nicht aus ihrer "unverschämten Prämienberechnung"-sie zahlt ja sogar noch die Steuern davon!
Vergleichst Du das mit Lotto, wo (vermutlich - ich bin kein Steuerexperte) erst mal 19%Mehrwertsteuer abgehen, dann 50% Lotteriesteuer, vom Rest noch die Verwaltungs-(inclusive Werbungskosten und die minimale Vergütung an die Kioskbesitzer), dann wird einem sebst als Laie klar, dass weniger als 1/4 für die Prämienausschüttung zur Verfügung steht, DAS ist unfair, nicht das eine 37stel beim Roulette!!!
Kannst Du vielleicht noch Zahlen dazu finden, wäre jedenfalls ein erwähnenswerter Punkt für dein Referat!
Zur zugehörigen Mathematik findet sich vielleicht noch ein Könner!
Ok, vielen, vielen dank! Das war mir eine große Hilfe! :)