Ist jedes mathematische Axiom ein Dogma?

Wenn ich die Definition 2 aus dem Duden nehme:

den Anspruch der absoluten Gültigkeit, Wahrheit erhebende Aussage, Lehrmeinung

dann hat ein Axiom damit nichts zu tun. Es steht jedem frei ein eigenes Axiomensystem aufzubauen und "Wahrheiten" haben in der Mathematik niemals absoluten Charakter und beanspruchen auch keine Absolutheit, sondern beschränken sich - wenn man schon partout nicht das Wort "Wahrheit" durch "wahre Aussage" ersetzen will - auf das Universum innerhalb eines Axiomensystems. Diese Offenheit fehlt meinem Sprachverständnis nach der Begriff "Dogma" gänzlich.

So jedenfalls mein Mathematik-Verständnis.

Nein unter dem Begriff Dogma würde ich einen Umstand verstehen welcher als unumstößlich definiert wird selbst wenn die Logik dagegen spricht.

Axiome auf der anderen Seite sollten nur dann verwendet werden wenn ohne ihnen keine Logischen Aussagen getroffen werden können.

Axiome sollten also per Definition nicht aus einer Logik heraus abgeleitet werden können, bei Dogmen ist das anders, die Aussage die sie betreffen kann zB durchaus als Wahr oder Falsch oder nicht eindeutig logisch hergeleitet werden, allerdings ist ein Dogma für so eine Logik am Ende nicht zugänglich.

Ein Axiom ist nötig, weil jedes mathematische System unweisbare Teilaussagen enthält. Das ist Gödel’s Unvollständigkeitssatz: https://de.wikipedia.org/wiki/Gödelscher_Unvollständigkeitssatz

Z.B. Die Körperaxiome. Man sagt: Ein Körper hat Addition, Multiplikation, inverses Element der Multiplikation, Neutrales Element der Multiplikation, Neutrales Element der Addtion etc.

Daraus kannst Du dann Beweise über die Eigenschaften von Körpern erstellen. Z.B. sagt das Axiom der Kommutativität der Addition aus, dass a+b=b+a. Aber dass a+b+c=a+c+b = c+a+b = b+a+c =b+c+a = c+b+a , musst du dann schon selbst beweisen.