Ist jede intervallschachtelung eine Cauchy folge?
Ich weiß was eine Intervall Schachtelung ist, denke ich zumindest. Weiß auch was eine Cauchy Folge ist. Also kann man sagen das jede intervallschachtelung eine Cauchy folge ist, da es in jeder Erklärung, welche ich gesehen habe,mit Cauchy folgen beweisen wird ? Ist eigentlich unnötig die Frage aber wäre cool zu wissen.
2 Antworten
Da musst du dir ganz genau die Begriffe anschauen. Was für Folgen betrachtest du, welcher Abstandsbegriff steckt dahinter.
Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von Intervallen, also von Mengen. Um jetzt zu entscheiden, ob das eine Cauchy-Folge ist, müsstest du auf der Menge dieser Mengen erstmal eine Metrik definieren, das ist gar nicht so trivial. Welchen Abstand haben zwei Intervalle voneinander? Wie willst du das definieren?
Auf R hast du ja eine Metrik, aber das ist eine Metrik auf den Elementen von R (also den reellen Zahlen), aber nicht auf den Teilmengen von R.
Ob eine Folge eine Folge Cauchy ist, hängt ja auch von dem jeweiligen metrischen Raum ab.
Intervalle sind keine Elemente der reellen Zahlen, sondern Teilmengen der reellen Zahlen. Intervallschaltungen sind daher keine Folge in lR.
Wäre also dann jede intervallschachtelung in R eine Cauchy folge ?