Ist 2Z = {2k | k ∈ Z} ein Ring?
Ist die Menge 2Z = {2k | k ∈ Z} aller geraden ganzen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation ganzer Zahlen ein Ring? Wenn ja, besitzt er ein Einselement bzw. ist er kommutativ?
Kann mir bitte jemand helfen? Ich wei0 nicht, wie ich die einzelnen Voraussetzungen zeigen muss.
2 Antworten
Das ist ein Ring ohne Eins.
Du wirst sicher wissen, dass (Z,+,·) ein Ring ist und (hoffentlich) das Teilring-Kriterium kennen? Denn dann musst du ja nur ganz wenige Eigenschaften wirklich explizit nachweisen - die hier aber alle ganz einfach sind (z.B. ist es doch ganz leicht einzusehen, dass die Differenz zweiter gerader ganzer Zahlen eine gerade ganze Zahl ist, oder? Es ist ja 2k - 2l = 2(k-l). und das reicht ja schon...)
Und warum hat der Ring 2Z keine Eins? Ein Einselement des Ringes müsste sich ja nach Definition der Menge 2Z schreiben lassen als 2z mit einer ganzen Zahl z. Und wenn das ein Einselement sein soll, müsste insbesondere 2·(2z) = 2 gelten - was für ein Unfug, wenn man nun kürzt...
2Z ist als Ideal ein Unterring von Z, allerdings ohne Einselement; wenn Ihr die Kategorie der Ringe als Menge der Ringe mit Eins definiert habt, ist 2Z in diesem Sinne kein Ring…