Ich brauche Hilfe um die Lösbarkeit des Gleichungssystems zu bestimmen?
Kann mir jemand mit der Aufgabe A helfen? Wir sollen es mit dem Gauß Algorithms vereinfachen und dann die Lösbarkeit bestimmen, aber ich weiß nicht wie. Das vereinfachen ist kein Problem aber ich weiß nicht wie ich den entstehenden Term interpretieren soll um auf die Lösbarkeit zu schließen. Danke.
2 Antworten
A) führt zu:
...
(a³ - 7a + 6) * z = 6a² - 12a + 6
(a + 3) * (a - 2) * (a - 1) * z = 6 * (a - 1) * (a - 1)
a = 1 führt zu 0 = 0 und damit unendlich viele Lösungen.
a = -3 oder a = 2 führt zu Widersprüchen, da die linke Seite 0 wird.
Folglich gibt es eindeutige Lösungen für a ϵ R \ {-3 ; 1 ; 2 }.
also... ich probiere es mal mit (1.A):
ax+z=1 --> z=1-ax
7x+y+az=6 --> 7x+y+a(1-ax)=7x+y+a-a²x=6
--> y=6-7x-a+a²x
6x+ay=5 --> 6x+a(6-7x-a+a²x)=6x+6a-7ax-a²+a³x=5
--> 6x+a³x-7ax=x(6+a³-7a)=5-6a+a²
--> x=(5-6a+a²)/(6+a³-7a)=(a-5)(a-1)/((a-2)(a+3)(a-1))
man sieht, dass in der letzten Zeile für a=1, a=-3 und a=2 der Nenner Null wird... allerdings lässt sich das „Definitions-Loch“ an der Stelle a=1 stetig schließen, so dass eigentlich nur an den Stellen a=2 und a=-3 keine reelle Lösung für x existiert... für alle anderen a gibt es mindestens eine Lösung für x...
für a=1 ist das LGS also:
x+z=1 --> z=1-x
7x+y+z=6 --> 7x+y+1-x=6 --> 6x+y=5 --> y=5-6x
6x+y=5
nur 2 Gleichungen...
du kannst also x beliebig wählen und dann y und z ausrechnen....
für andere Werte von a gibt es für y und z nur genau eine Lösung...