Hey Leute wisst ihr was eine integralfreie Darstellung und wie ich das bei dem Integral unten anwenden kann?

Danke bereits im Voraus :)

Answer 1

[Najix]

Hi,

dir wurde ja schon sehr gut geholfen, aber vielleicht interessiert dich noch ein anderer Weg dieses Integral zu lösen. Wir ziehen das Integral durch die Differenz in zwei Integrale auseinander:

$\int e^x\left(4x-4\ln\left(e^x+1\right)\right)dx\ =\ \int4xe^xdx\ -\ \int4e^x\ln\left(e^x+1\right)dx$

im rechten Integral substituieren wir

$u=e^x+1\ \Rightarrow\ du=e^xdx$

Im linken Integral können wir partiell integrieren, oder wir machen einen Trick, indem wir in der e-Funktion einen Parameter a einfügen, nach dem wir ableiten und danach 1 setzen:

$xe^x=xe^{ax}|_{a=1}=\frac{d}{da}e^{ax}|_{a=1}$

Die Ableitung nach a kann man aus dem Integral ziehen, sodass man folgendes erhält:

$\frac{d}{da}\int4e^{ax}dx|_{a=1}\ -\ \int4\ln\left(u\right)du$ Das linke integral kann man sehr einfach bestimmen. Im rechten Integral müssen wir leider partiell integrieren (deshalb ist das jetzt auch nicht schneller als die Lösung, die du schon kennst). So bekommen wir

$\frac{d}{da}\ \frac{4}{a}e^{ax}|_{a=1}-4u\ln\left(u\right)+\int4\ \frac{u}{u}du$ $=\left(-\frac{4}{a^2}e^{ax}+\frac{4x}{a}e^{ax}\right)|_{a=1}-4u\ln\left(u\right)+4u$ $=-4e^x+4xe^x-4\left(e^x+1\right)\ln\left(e^x+1\right)+4\left(e^x+1\right)$ $=4xe^x-4\left(e^x+1\right)\ln\left(e^x+1\right)+4$ Und hier sollten wir noch die Integrationskonstante hinzufügen, also ist das Endergebnis

$4xe^x-4\left(e^x+1\right)\ln\left(e^x+1\right)+C$

Der Weg ist bestimmt nicht besser als der den du schon gesehen hast, aber ich wollte dir den coolen Trick mit dem Parameter a zeigen um xe^x zu integrieren ;-)

Funktioniert übrigens auch super allgemein, wenn man x^n*e^x für eine natürliche Zahl n integrieren will.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Theoretische Physik und Mathematik

Comments

[NJaudlii]

Danke ist echt n cooler weg aber das ist mir glaub n bisschen zu kompliziert

:) und zu anspruchsvoll XD

[Najix]

@NJaudlii

Aber vielleicht behältst du es ja im Hinterkopf, falls du mal x^n*e^x integrieren musst ;-)

Answer 2

[Quotenbanane]

Du sollst einfach das Integral bilden, sodass die Integralfunktion dasteht.

Bei dieser Aufgabe hier wäre partielle Integration von Vorteil, denn...

$\int e^x\left(4x-4\ln\left(e^x+1\right)\right)dx\ =\ 4\int e^x\left(x-\ln\left(e^x+1\right)\right)dx$

Und jetzt sei f = e^x und g = x - ln(e^x+1)

Dann ist laut partieller Integration...

$e^x\cdot\left(x-\ln\left(e^x+1\right)\right)-\int e^x\cdot\left(1-\frac{e^x}{e^x+1}\ \right)\ dx$

Wenn man den rechten Ausdruck dann noch auf einen Nenner bringt, kann man leicht substituieren und integrieren.

Und dann ist man praktisch fertig.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Comments

[NJaudlii]

Danke du hast mir sehr geholfen :) du hast immer super Erklärungen :)

[Quotenbanane]

@NJaudlii

Gerne :-)