Gleichung umstellen Problem beim Exponenten?

und

einmal wurde nach p2 und einmal nach T2 umgestellt. Warum wird bei einem der Nenner und Zähler des exponenten auch vertauscht und beim anderen Bild nicht?

Answer 1

[SeifenkistenBOB]

Oben wird auf beiden Seiten die "kappa-1-te"-Wurzel (also hoch 1/(k-1)) gezogen und auf beiden Seiten mit kappa potenziert. Dadurch entsteht auf der rechten Seite eine 1 im Exponent und auf der linken Seite genau der Kehrwert.

Unten werden nur ein paar Potenzregeln angewandt:

$\frac{T_1}{T_2}=\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}$ $\frac{T_2}{T_1}=\frac{1}{\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}}\ =\ \left(\frac{1}{\frac{P_1}{P_2}}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}$

Aufgrund des Potenzgesetzes

gilt aber auch:

Also ist:

Answer 2

[evtldocha]

Bei der ersten Umformung muss die ganze Gleichung zuerst auf beiden Seiten mit dem Kehrwert

$\frac{κ}{κ-1}$

potenziert werden um den Bruch

$\frac{p_1}{p_2}$

ohne Exponent zu isolieren, was natürlich im zweiten Fall nicht notwendig ist, da das Verhältnis der Temperaturen schon ohne Exponent da steht.