Gleichsetzungsverfahren? Additionsverfahren? Einsetzungsverfahren? Subtraktionsverfahren?

Hallo , Ich schreibe am donnerstag eine Schulaufgabe über Gleichungssysteme. Leider weiss ich nicht wann ich welches Verfahren benutzen soll( oder kann ich alle Verfahren bei gleichungen benutzen ?) ... Könnts ihr mir paar tipps geben, wie ich das heraus bekomme

Answer 1

[cloud98]

Generell kannst du eigentlich alle Verfahren benutzen, manchmal ist es halt geschickter eine Art zu benutzen als die andere, aber ich glaube das da schon nach einer bestimmten Art gefragt wird.

Bsp.: Löse folgende Gleichung mit Hilfe des Additionsverfahren aus.

Answer 2

[MatheJas]

theoretisch ist es egal, welches Verfahren du nutzt. Du müsstest mit jedes Verfahren auf die richtige Lösung kommen. Meistens ist aber ein Verfahren am sinnvollsten.

Gleichsetzungsverfahren beide Gleichen werden nach der gleichen Variable aufgelöst

Einsetzungsfahren eine Gleichung ist schon nach einer Variable aufgelöst

Additionsverfahren du hast die gleiche Zahl, aber unterschiedlich Vorzeichen und somit kannst du eine Variable eliminieren.

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Gleichsetzungsverfahren

1. Schritt: Zwei Gleichungen gleichsetzen, damit eine Gleichung entsteht. Durch das gleichsetzen wird eine Variable eliminiert
2. Diese Gleichung kann nun mit den bekannten algebraischen Mitteln gelöst werden
3. Der für die erste Variable berechnete Wert wird in eine der beiden Gleichungen eingesetzt, um die zweite gesuchte Variable zu ermitteln
4. Als Lösung erhält man die Lösungsmenge L{x ; y}
5. Die Lösungsmenge ist grafisch gesehen der Schnittpunkt der beiden Gleichungen

Beispiel: Es sind die folgenden beiden Gleichungen gegeben:

   I.  4 = 5x + y  
   II. 6 = 8x + 2 y

Zunächst werden beide Gleichungen nach einer Unbekannten aufgelöst (hier y):

  I.  4 = 5x + y   | - 5x 
  4 - 5x = y  

  II. 6 = 8x + 2y | -8x   
 6 - 8x = 2y | :2
 3 - 4x = y  

Im nächsten Schritt werden die beiden Gleichungen gleichgesetzt und nach der Unbekannten Variable aufgelöst (hier x):

 4 -5x = 3-4x |+5x
 4 = 3 + x| -3
 1 = x   

Das Ergebnis x = 1 wird nun in eine der beiden Gleichungen eingesetzt. Dabei ist es egal in welche Gleichung es eingesetzt wird, weil der Punkt (Schnittpunkt) ja auf beiden Gleichungen liegt. Ich habe jetzt Gleichung I genommen:

I.  4 = 5 * 1 + y

Im letzten Schritt wird die Gleichung nach der anderen Unbekannten (hier y) aufgelöst.

 I.  4 = 5 * 1 + y | - 5 
  -1 = y  

Um die Lösung zu überprüfen, kann man das Ergebnis nochmal in eine der beiden Gleichungen einsetzen:

 I.  4 = 5 * 1 + (-1) = 4   
 II. 6 = 8 * 1 + 2 * (-1) = 6   

L{1/-1} --> Schnittpunkt der beiden Gleichungen

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Einsetzungsverfahren

Beispiel: Es sind die folgenden beiden Gleichungen gegeben:

I. y + 3x = 2 

II. 2y = 4x – 2            

Nun wird eine der beiden Gleichungen nach einer Variable (hier y) aufgelöst. Ich habe die Gleichung I genommen

I. y + 3x = 2   | - 3x 

y = 2 - 3x 

Im nächsten Schritt wird der Term (2 - 3x) aus Gleichung I in die andere Gleichung eingesetzt.

I. in II 

2 * ( - 3x + 2) = 4x – 2

Damit hast du eine Gleichung mit einer Variable. Durch lösen der Gleichung erhälst du den Wert einer Variable (hier x)

2 * ( - 3x + 2) = 4x – 2
       - 6x + 4 = 4x - 2      | - 4x
      - 10x + 4 = - 2         | - 4
          - 10x = - 6         | : (-10)
              x = 0,6 

Nun haben wir den x-Wert vom Scheitelpunkt berechnet. Da dieser Wert auf beiden Gleichungen gleich ist, können wir den y-Wert ermitteln, indem wir den x-Wert (0,6) in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Dafür habe ich Gleichung I genommen.

 y = - 3 * 0,6 + 2
y  = - 1,8 + 2
y  = 0,2 

Daraus folgt:

L = { 0,6 | 0,2 } --> Schnittpunkt S (0,6 | 0,2)

Zur Probe können wir den Schnittpunkt in die Gleichung einsetzen:

I 0,2 + 3* 0,6 = 2 wahr II 2* (0,2) = 4 * 0,6 – 2 wahr 

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Comments

[MatheJas]

Additionsverfahren

Es sind folgende Gleichungen gegeben:

3x + 4y = 18

5x - 3y  = 1

Um nun das Additionsverfahren anwenden zu können, muss entweder vor x oder vor y die gleiche Zahl mit unterschiedlichen Vorzeichen stehen.

Bei diesen beiden Gleichungen können wir die 1. Gleichung mit 3 und die 2. Gleichung mit 4 multiplizieren. Daraus ergibt sich:

I. 3x + 4y = 18     | * 3

 9x + 12 y = 54

II. 5x - 3y  = 1     | * 4 

20x - 12y = 4

Durch Addition der beiden Gleichungen wird eine Variable (hier y) elminiert und es ergibt sich eine Gleichung mit einer Variable:

I  9x + 12 y = 54

II 20x - 12y = 4

I + II  29x = 58

Diese Gleichung lässt sich nun lösen und dadurch ergibt sich den Wert einer gesuchten Variable (hier x)

 29x = 58 | : 29

x = 2 

Der y - Wert wird wiederrum bestimmt, indem man den berechneten x-wert in eine der beiden Gleichungen einsetzt. Ich habe hier Gleichung I genommen:

3 *  2 + 4y  = 18 

 y =  3

Daraus folgt

L = { 2 | 3 } --> Schnittpunkt S (2 | 3 )

Zur Probe kann man den Schnittpunkt wieder in die Ausgangsgleichungen einsetzen

3 * 2 + 4 * 3 = 18 wahr

5 * 2 - 3 * 3 = 1 wahr

Answer 3

[Narzissa66]

Mit jedem Verfahren kommst Du - richtig angewendet - zur richtigen Lösung. Je nachdem ist halt das eine komfortabler als das andere.

Answer 4

[charles2520]

Einsetzungsverfahren bietet sich an, wenn eine Variable bereits aufgelöst ist... Additionsverfahren, wenn 2 Gleichungen so umgeformt werden können, dass eine Variable bei Addition wegfällt (klappt immer^^)

Im Zweifelsfall geht immer das Gauss-(Jordan)-Verfahren

Answer 5

[UlrichNagel]

Es gibt nur 2 "Verfahren" bei Funktionssystemen, das Einsetzungs- /Gleichsetzungs-Verfahren (ist das Gleiche!) und das Additionsverfahren (oder Subtraktion-Verf.).

Ersteres führt durch Einsetzen einer Unbekannten zur Reduzierung der Unbekannten (Variablen) und beim Anderen durch die Aufhebung (zu 0) der Gegenzahlen durch Summe 3 + (-3) bzw. gleicher Zahlen durch Differenz 3 - 3