Gilt folgendes: In Verteilung Konvergenz => in Wahrscheinlichkeit Konvergenz => fast sichere Konvergenz?
Hallo. Meine Frage ist ob die obige Aussage so geht, und ob jemand Gegenbeispiele für die rück Richtung kennt?
1 Antwort
Nein.
Bei der Konvergenz in Verteilung geht es nur um die Verteilung der Zufallsvariable. Wenn man beim Münzwurf einer Seite 0 zuordnet und der anderen 1, ist es für die Verteilung egal, welche Seite man auswählt. Die Wahrscheinlichkeit für 0 oder 1 ist immer je 50%. Die Abbildung von {Kopf, Zahl} nach {0, 1} unterscheidet sich nach Vertauschen dagegen auf dem gesamten Wahrscheinlichkeitsraum {Kopf, Zahl} um 1.
Für das Gegenbeispiel, dass Konvergenz in Wahrscheinlichkeit nicht fast sichere Konvergenz impliziert, betrachte das Intervall [0, 1] mit dem Lebesguemaß als Wahrscheinlichkeitsmaß. Man nimmt Indikatorfunktionen, die auf einem bestimmten Teilintervall 1 sind und sonst 0. Die Intervall lässt man beliebig klein werden, sodass diese Indikatorfunktionen gegen die 0 in Wahrscheinlichkeit konvergieren. Man verkleinert das Intervall aber nicht in jedem Schritt, sondern verschiebt es erst über ganz [0, 1], sodass die fast sichere Konvergenz nicht erfüllt ist und die Folge sogar in keinem Punkt konvergiert.
Veranschaulichung:
Die Zeilen sind die Funktionen in der Folge, "-" = 1, "_" = 0
|------|
|---___|
|___---|
|--____|
|__--__|
|____--|
.
.
.
|-_____|
|_-____|
|__-___|
|___-__|
|____-_|
|_____-|
.
.
.
In jeder Spalte taucht unendlich oft ein "-" auf, wenn auch seltener, der Anteil von den "-" wird aber beliebig klein.
Die Richtung fast sicher => in Wahrscheinlichkeit => in Verteilung gilt aber.