Guten Tag,
meine zusammengefassten Fragen (Lediglich 3 Stück: 1., 2., 3.) befinden sich weiter unten zwischen den Hastags eingeschlossen.
Ich frage mich, was der Unterschied zwischen der „nCr“-Taste und der „nPr“-Taste ist, also wenn man den Binomialkoeffizienten im Taschenrechner berechnet.
- Die „nCr“-Taste wird ja benutzt, wenn die Reihenfolge egal ist. C -> Combinations (= Kombinationen).
- Die „nPr“-Taste wird ja benutzt, wenn die Reihenfolge beachtet wird. P -> Permutations (= Permutationen).
Doch was rechnet der Taschenrechner anders, wenn ich die „nCr“-Tase bzw. die „nPr“-Taste verwende? Hierfür habe ich im Folgenden ein paar Beispiele gemacht, um es zu verstehen:
5 nCr 0 = 1
5 nPr 0 = 1
4 nCr 2 = 6
4 nPr 2 = 12
6 nCr 2 = 15
6 nPr 2 = 30
4 nCr 3 = 4
4 nPr 3 = 24
6 nCr 3 = 20
6 nPr 3 = 120
8 nCr 3 = 56
8 nPr 3 = 336
5 nCr 4 = 5
5 nPr 4 = 120
7 nCr 4 = 35
7 nPr 4 = 840
9 nCr 4 = 126
9 nPr 4 = 3.024
Feststellungen zu den Beispielen:
- Bei den Beispielen (1)-(3) verdoppelt sich das Ergebnis bei der Verwendung der „nPr“-Taste im Vergleich zur „nCr“-Taste einfach, da es doppelt so viele Möglichkeiten gibt, für zwei gleiche Sachen, wenn die Reihenfolge berücksichtigt wird.
- Bei den Beispielen (4)-(6) versechsfacht sich das Ergebnis immer, wenn man die „nPr“-Taste statt der „nCr“-Taste verwendet.
- Bei den Beispielen (7)-(9) vervierundzwanzigt sich das Ergebnis immer, wenn man die „nPr“-Taste statt der „nCr“-Taste verwendet.
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- Nun frage ich mich, was sich bei der Berechnung beim Taschenrechner verändert, wenn statt der „nCr“-Taste die „nPr“-Taste verwendet wird und umgekehrt. Könnt ihr mir das sagen, was der Taschenrechner da anders berechnet?
- Wieso ist immer die Veränderung im Vielfachen in meinen Beispielen (1)-(3); (4)-(6); (7)-(9) gleich, wenn ich statt der „nCr“-Taste die „nPr“-Taste verwende? Gibt es dafür eine Begründung?
- Wieso kommt bei Beispiel (1) immer 1 raus? Wieso kommt immer 1 raus, wenn unten im Binomialkoeffizient 0 steht? Kann mir dafür jemand ein einfaches Beispiel in Form einer „Aufgabe“ geben?
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Beispiel zur Verwendung der „nCr“-Tase im Taschenrechner:
Paul, Julian, Fritz und Thomas möchten zusammen Tennis spielen. Wie viele Möglichkeiten für Zweierteams gibt es (Die Reihenfolge der Nominierung der Spieler in den Teams ist egal)?
Hierbei gibt es ja 4 über 2 Möglichkeiten, also den Binomialkoeffizienten (4 2). Hier verwenden wir nCr, da die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird. Es ist also egal, ob für ein Zweierteam zuerst der eine Spieler oder erst der andere Spieler nominiert wird.
4 nCr 2 = 6
Beispiel zur Verwendung der „nPr“-Tase im Taschenrechner:
Paul (1), Julian (2), Fritz (3) und Thomas (4) möchten zusammen Tennis spielen. Es werden Zweierteams gebildet. Beide Nummern der Spieler bilden zusammen eine zweistellige Zahlenfolge (Beispiel: Paul (1), Julian (2) = 12 ≠ Julian (2), Paul (1) = 21). Wie viele verschiedene Zahlenfolgen gibt es?
4 nPr 2 = 12