Differentialoperatoren Bildungen grad rot div?

heiii, welche sind definiert und wie soll ich das sauber aufschreiben?

thanks

Answer 1

[mihisu]

• Die Divergenz braucht ein (stetig differenzierbares) Vektorfeld ℝⁿ → ℝⁿ und liefert ein Skalarfeld ℝⁿ → ℝ.
• Der Gradient braucht ein (stetig differenzierbares) Skalarfeld ℝⁿ → ℝ und liefert ein Vektorfeld ℝⁿ → ℝⁿ.
• Die Rotation braucht ein (stetig differenzierbares) Vektorfeld ℝⁿ → ℝⁿ und liefert ein Vektorfeld ℝⁿ → ℝⁿ.

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Bei (1) beispielsweise...

• grad f kann gebildet werden, da f ein (zweimal stetig differenzierbares) Skalarfeld ist und liefert ein (stetig differenzierbares) Vektorfeld.
• div grad f kann gebildet werden, da grad f ein (stetig differenzierbares) Vektorfeld ist und liefert ein Skalarfeld.

(1) ist also problemlos definiert.

$\text{div}\left(\text{grad} f\right)=\text{div}\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}f\\\frac{\partial}{\partial y}f\\\frac{\partial}{\partial z}f\\\end{pmatrix}$

$=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}f+\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial y}f+\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial z}f$

$=\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}f+\frac{\partial^2}{{\partial y}^2}f+\frac{\partial^2}{{\partial y}^2}f$

$=\left(\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial y}^2}+\frac{\partial^2}{{\partial y}^2}\right)f$

Übrigens schreibt kann man div(grad f) auch mit Hilfe des Laplace-Operators schreiben...

$\text{div}\left(\text{grad} f\right)=\Delta f$

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Bei (2) beispielsweise...

• div f kann nicht gebildet werden, da f kein Vektorfeld ist.
• Da div f nicht gebildet werden kann, kann dann natürlich auch grad div f nicht gebildet werden.

(2) ist also nicht definiert.

Comments

[TrViMa]

Wirklich größtes Dankeschön es macht so Sinn und ich hab es endlich verstanden 🫶🏼😌