Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel?
Servus zusammen :)
wir haben gerade eine Aufgabe bekommen worauf ich irgendwie gar nicht klar komme. Bisher hatten wir gar keine Textaufgaben geübt und jetzt plötzliche diese hier:
Kann mir jemand sagen wie ich hier vorzugehen habe? was meinen die mit 1m = einer Längeneinheit? ist im Graph von 0 bis 1 z.B. 1 Meter??
Die Lösungen sind für:
a) = 10 2/3
b) = 21.000
c) = 35%
PS: Wir hatten die ganze Zeit Integralrechnung gehabt z.B. Funktion zw. Graph und x-Achse und zw. zwei Funktionen. Daher kann ich mit der Aufgabe gerade gar nichts anfangen....
1 Antwort
a)
Parabel f(x) = a*x^2 + b
Es muss gelten
f(0) = 0 und f(4) = 2
Daraus folgt b = 0 und a = 1/8
f(x) = x^2/8
Stammfunktion F(x) = x^3/24 + C
Das Integral über f(x) im Intervall [-4,+4] ist
F(4) - F(-4) = 4*4*4/24 - - 4*4*4/24 = 8*4*4/24 = 16/3
Zur Ermittlung der Querschnittsfläche muss man das Rechteck aus Breite 2*4 und Höhe 2 berücksichtigen:
Querschnitt = 2*4*2 - 16/3 = 32/3 = 10 + 2/3
b)
Der Querschnitt hat die Einheit m^2
Der Kanal ist 2000 Meter lang.
Volumen = 32/3 * 2000 ~ 21333 m^3
c)
Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, gilt für den Pegel auf der rechten Seite der Parabel
f(x) = 1
x^2/8 = 1
Lösung x = 2*wurzel(2)
Dann integriert man über das Intervall [-x,x]
F(x) - F(-x) = 4 * wurzel(2) / 3
Jetzt wieder das Rechteck mit der Breite 2 * 2 * wurzel(2) und der Höhe 1 berücksichtigen
Querschnitt = 2* 2 * wurzel(2) - 4 * wurzel(2) / 3 = 8 * wurzel(2)/3
Das Verhältnis der beiden Querschnitte ist dann
32/3 : 8 * wurzel(2)/3 = wurzel(2) / 4 ~ 0.3535 also 35%.