"Bewerbung als Inspektoranwärter für die Allgemeine Verwaltung" oder "Bewerbung als Inspektoranwärter für die allgemeine Verwaltung" groß oder klein?

du kannst es sowohl klein als auch groß schreiben, beides ist richtig. "Allgemeine Verwaltung" ist ein feststehender Begriff und würde ich bevorzugen. Im Zweifel schau nach, was in der Ausschreibung steht

"allgemein" ist ein Adjektiv und wird grundsätzlich klein geschrieben. Wenn die ausschreibende Firma/Behörde der Abteilung aber den Eigennamen "Allgemeine Verwaltung"  zugewiesen hat, wird das Adjektiv auch groß geschrieben.

Am besten so, wie in der Stellenausschreibung... :-)

Im Zweifel aber groß.