Beweise Volumen ist das gleiche?

5b)

Kann jemand das vielleicht in einer einfacheren Rechnung begründen? :)

Answer 1

[BorisG2011]

Für die Rechnung benötigst du die Formel für das Kugelvolumen. Die lautet:

$V_{_{Kugel}}\ =\ \frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^{^3}$ In diese Formel setzt du den gegebenen Kugelradius

$r_{_{Kugel}}\ =\ a\cdot\sqrt[3]{\frac{3}{4\cdot\pi}}$ ein.

Nach Vereinfachung solltest du a^3 erhalten, was gerade das Volumen eines Würfels mit Seitenlänge a ist.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik

Answer 2

[GuteAntwort2021]

Volumen eines Würfels:

$V\ =\ a^3$

Volumen einer Kugel:

$V\ =\ \frac{4}{3}\ \cdot\ \pi\ \cdot\ r^3$

r ist hierbei nun vorgegeben mit

$r\ =\ a\ \cdot\ \sqrt[3]{\frac{3}{4\cdot\pi}}$

Wenn wir das nun in der Volumenformel ersetzen, bekommen wir

$V\ =\ \frac{4}{3}\ \cdot\ \pi\ \cdot\ \left(a\ \cdot\ \sqrt[3]{\frac{3}{4\cdot\pi}}\right)^3$ $V\ =\ \frac{4}{3}\ \cdot\ \pi\ \cdot\ a^3\ \cdot\ \frac{3}{4\cdot\pi}$

Wenn wir nun ein bisschen umformen und die Faktoren tauschen (Kommutativgesetz), sieht das dann wie folgt aus:

$V\ =\ \frac{4\ \cdot\ \pi}{3}\ \cdot\ \frac{3}{4\ \cdot\ \pi}\ \cdot\ a^3$

$V\ =\ \frac{4\ \cdot\ \pi\ \cdot\ 3}{4\ \cdot\ \pi\ \cdot\ 3}\ \cdot\ a^3$

Man sieht leicht, dass sich der Bruch zu 1/1 und damit zu 1 kürzt, daher bleibt nur was stehen?

$V\ =\ a^3$

was genau dem Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge a entspricht.

War das verständlich erklärt? 👍

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Answer 3

[TBDRM]

V_w = a³

V_k = 4/3 π r³

mit r = a ³√(3/(4π)) erhält man dann

V_k = 4/3 π (a ³√(3/(4π)))³

V_k = 4/3 π (a³ 3/(4π)) = a³

und damit V_w = V_k.

Man hat also einfach r in die Volumenformel einer Kugel eingesetzt.

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)