Bedingungen bei diesen Aufaben?
Es geht um Aufgaben 15, 16 und 17. Danke im voraus:)
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Rammstein53/1615404814643_nmmslarge__0_0_346_346_2e08198db203389692d6d8287572496d.png?v=1615404815000)
15)
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
(1) f(-x) = -f(x) --> b = d = 0
(2) Wendepunkt kann nur bei x = 0 liegen, daraus folgt f'(0) = c = 7/4
(3) a folgt aus f(4) = 3
16)
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
(1) Wendepunkt im Ursprung -> punktsymmetrisch --> b = d = 0
(2) f'(0) = c = 1
(3) f'(3) = 27a + c = 0, daraus folgt a
17)
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
(1) f(0) = 6 = d
(2) g hat die Steigung -1. f schneidet g rechtwinkelig -> f'(0) = +1 -> c = 1
(3) g berührt f -> f'(6) = 3*6²*a + 2*6*b + 1 = -1 (Steigung von g)
(4) f(6) = a*6³ + b*6² + 6 + 6 = 0
aus (3),(4) folgen a,b
![](https://images.gutefrage.net/media/user/SoSohatsDRAUF/1444668937672_nmmslarge__370_235_298_298_59f8c84aef5d0c28edee44775dbfafde.png?v=1444668938000)
Durch die Punktsymmetrie vereinfacht sich die Funktion so sehr, dass du sogar nur noch zwei Bedingungen brauchst. Denn deine Variablen sind nur noch a und c. Du brauchst nur noch zwei Gleichungen, um beide Unbekannte bestimmen zu können. Die dritte Bedingung ist ja die Punktsymmetrie, aus der b = 0 und d = 0 folgt.
Du brauchst pro Variable eine Bedingung. Also im extremsten Fall vier Bedingungen. Siehe Aufgabe 17.
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Hi,
zunächst "übersetzt" man die Aussagen in Mathematik und löst sie dann.
Aufgabe 15Eine ganzrationale Funktion 3. Grades
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat allgemein folgende Funktionsgleichung:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
ist punktsymmetrisch zum Ursprung,
Diese Information liefert und schon sehr viel, nämlich:
- bei Punktsymmetrie zum Ursprung hat die Funktion nur ungerade Exponenten, das heißt, bx² und d fliegen raus: f(x) = ax³ + cx
- d = 0, da die Funktion durch den Ursprung verläuft (passt auch mit der eben vereinfachten Gleichung)
geht durch den Punkt P(4|3)
Bedeutet: f(4) = 3. Das kann man nun einsetzen:
3 = a*4³ + c*4
und hat in seinem Wendepunkt die Steigung m = 7/4.
Das bedeutet, dass die erste Ableitung bei x = 0 die Lösung 7/4 hat, denn die erste Ableitung an der Stelle x0 gibt die Steigung der Tangente an dieser Stelle an:
3a*0² + c = 7/4
c = 7/4
Das kannst du nun in die eben aufgestellte Gleichung einsetzen und a ausrechnen:
3 = 64a + 4*(7/4)
3 = 64a + 7
-4 = 64a
a = -4/64 = -1/16
Die Funktionsgleichung ist als f(x) = -1/16 x³ + 7/4.
Aufgabe 16Eine Schar von Parabeln 3. Ordnung
Wieder die allgemeine Gleichung aufstellen: f(x) = ax³ + bx² + cx + d
hat den Ursprung des Koordinatensystems als gemeinsamen Wendepunkt.
Es gilt d = 0, da die Schar durch den Ursprung verläuft. Auch ist die Funktion punktsymmetrisch, es gilt erneut b = 0:
f(x) = ax³ + cx.
Bestimme die Gleichung derjenigen Scharenkurve, die an der Stelle x = 0 die Steigung 1
Wieder: Die Erste Ableitung an der Stelle x0 entspricht der Steigung in der Stelle:
f'(x) = 3ax² + c
Der Term 3ax² fällt wegen x = 0 weg, es ergibt sich c = 1.
und an der Stelle x = 3 einen Hochpunkt hat.
Hochpunkt bedeutet: Die erste Ableitung der Funktion hat an der Stelle x = 3 den Funktionswert 0:
0 = 3a*3² + 1 (c = 1 kennen wir ja)
0 = 27a + 1
-1 = 27a
a = -1/27
Die Funktionsgleichung lautet:
f(x) = -1/27 x³ + x.
Aufgabe 17Gegeben ist eine Gerade g mit der Gleichung x + y = 6.
Das formulieren wir uns in die altbekannte Form um:
y = g(x) = -x + 6.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
berührt g in P(6|0)
Daraus erhalten wir die folgenden Informationen:
- f(6) = 0, da der Graph die x-Achse an dieser Stelle berührt;
- g ist die Tangente von f(x) an der Stelle x = 6, weshalb die erste Ableitung an dieser Stelle die Steigung -1 haben muss: f'(6) = -1
Es ergibt sich: 3a*6² + 2*6*b + c = -1
und schneidet g in Q(0|6) rechtwinklig.
Das heißt: g ist die sogenannte Normale zur Tangente an der Stelle x = 0. Die Tangente hat die Steigung -1/m1, also ist die Steigung an der Stelle x = 0 m2 = 1:
3a*0² + 2*0*b + c = 1
Es ergibt sich c = 1.
Die Formel 3a*6² + 2*6*b + c = -1 stellen wir nun nach a oder b um - ist egal:
108a + 12b + 1 = -1
12b = -108a -2
b = -9a -1/6
Nun wissen wir noch, dass f(6) = 0:
a*6³ + b*6² + c*6 + d
Wir wissen, dass b = -9a -1/6, c = 1 und d = 6; all das setzen wir ein und lösen nach a auf:
216a + 36*(-9a -1/6) + 1*6 + 6 = 0
216a - 324a -6 +12 = 0
-108a = -6
a = 1/18
Das nun in die nach b aufgelöste Gleichung einsetzen:
b = -9a - 1/6 = -9/18 - 3/18 = -12/18 = -2/3
Die Gleichung ist also:
f(x) = 1/18 x³ - 2/3 x² + x + 6.
Wenn noch etwas unklar ist, frag gerne nach.
LG
Brauche ich nur 3 Bedingungen, wenn eine Funktion 3. Grades punktsymmetrisch zum Ursprung ist?