Arbeitslosengeld?

Hi Leute ,

ich war vor kurzem arbeitslos und habe dann einen Job angenommen. Das habe ich natürlich der Agentur für Arbeit mitgeteilt. Da ich jedoch krank war, habe ich den Job nicht angetreten, sondern nur den Arbeitsvertrag unterschrieben, ohne auch nur einen Tag gearbeitet zu haben. 

Circa einen Monat später habe ich nun einen anderen Job gefunden und vor zwei Tagen angefangen zu arbeiten. Meine Frage ist nun: Da der erste Arbeitsvertrag nicht wirklich zustande gekommen ist und der Arbeitgeber mir daher auch keine Kündigung ausstellen möchte, brauche ich von diesem Arbeitgeber überhaupt eine Kündigung? Oder benötigt die Agentur für Arbeit nur das Kündigungsschreiben von meinem jetzigen Job, falls ich gekündigt werde?