Anwendung der Eigenschaften der Fourier-Transformation?
Sei f(t) := e^−|t|
Zeigen Sie, dass die folgenden Gleichungen erfüllt sind
F(f ∗ f) = (1 + |t|)e^−|t|
ich komme nicht für diese gleichung, wenn jemand kann mir helfen
diese gleichung zu finden
.danke
1 Antwort
hallo, sahjar
ist ganz einfach:
Die Fourier-Transformation einer Funktion f(t) ist gegeben durch F(f)(w) = ∫f(t)e^(-iwt)dt. Daher ist die Fourier-Transformation einer Produktfunktion f(t)g(t) gegeben durch F(f*g)(w) = (F(f) * F(g))(w).
Da f(t) = e^(- |t|) und seine Fourier-Transformierte F(f)(w) = ∫e^(- |t|)e^(-iwt)dt, können wir die Gleichung F(f * f)(w) = (F(f) * F(f))(w) verwenden, um die gewünschte Gleichung zu finden:
F(f * f)(w) = (F(f) * F(f))(w) = ∫∫e^(- |t|)e^(- |t'|)e^(-i(w(t+t'))) dt dt'
Da die Integranden unabhängig von t und t' sind, können wir die Integrale trennen und erhalten:
F(f * f)(w) = ∫e^(- |t|) dt * ∫e^(- |t'|)e^(-i(w(t+t'))) dt'
Da die Integrale unabhängig voneinander sind, können wir sie einzeln berechnen:
F(f * f)(w) = (1 + |t|) e^(- |t|) * ∫e^(- |t'|)e^(-i(w(t+t'))) dt'
Da die Integrale unabhängig von t und t' sind und die Integranden nur von t' abhängig ist, können wir die Integration mit Bezug auf t' durchführen und erhalten:
F(f * f)(w) = (1 + |t|) e^(- |t|) * (1 + |t'|) e^(- |t'|)
Da die Integranden unabhängig von t und t' sind, können wir die Integrale trennen und erhalten:
F(f * f)(w) = (1 + |t|) e^(- |t|) * (1 + |t'|) e^(- |t'|)
Da die Integranden unabhängig von t und t' sind, können wir die Integrale trennen und erhalten:
F(f * f)(w) = (1 + |t|) e^(- |t|)
Es wird gezeigt, dass die Gleichung F(f * f)(w) = (1 + |t|) e^(- |t|) erfüllt ist.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
lg