Abbau des Koffeins im Blut (Mathematik Aufgabe)
Ich habe eine Aufgabe in Mathematik und komme einfach nicht auf die Lösung. Kann mir jemand helfen wie man auf die Lösung kommt und auch eine Erklärung? (Es geht um exponentielles Wachstum)
AUFGABE: 1 Tasse Kaffe enthält etwa 50 mg Koffein. Pro Stunde sinkt der Koffeingehalt im Blut um 20 %. Wie viele Tassen darf ein Erwachsener im zeitlichen Abstand von 1/2 Stunde höchstens trinken, ohne dabei mehr als 150mg Koffein im Blut zu haben?
1 Antwort
Stelle dir vor, du nimmst alle ½ Stunde eine Messung vor.
Anfang: 50㎎
½ Std: 50㎎ -20% + 50㎎
1 Std: ( 50㎎ -20% + 50㎎ ) - 20% + 50㎎
...
Jetzt suchst du nach einer Regel. Sei Koffein pro Tasse K und q=0,8, aktueller Koffeingehalt im Blut k
Du rechnest kn = (K * q + K) * q + K ...
Also (q+1)K * q + K = (q² + q) K + K = (q² + q + 1)K
Im nächsten Schritt wieder *q + K
k = (q² + q + 1)K *q + K = (q³ + q² + q + 1)K
Ich würde also sagen, die Formel lautet kn = K * ∑ q ͥ (i=1..n)
Zurück zur Aufgabe:
Wie viele Tassen darf ein Erwachsener im zeitlichen Abstand von ½ Stunde höchstens trinken, ohne dabei mehr als 150㎎ Koffein im Blut zu haben?
Wir schauen, wann es genau 150㎎ sind:
K * ∑ qⁿ = 150
Diese Formel lässt sich lt. Wiki ( http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe ) umschreiben in
150 = K * (1-qⁿ⁺¹)/(1-q) | *(1-q) | :K | -1 | *(-1)
qⁿ⁺¹ = 1 - 150(1-q)/K | ㏒ | / ㏒(q)
(n+1) = ㏒(1 - 150(1-q)/K) / ㏒(q) | -1
n = ㏒(1 - 150(1-q)/K) / ㏒(q) -1
Mal gucken, was herauskommt.
n = ㏒(1 - 150(1-0,8)/50) / ㏒(0,8) -1
n = 3,11 halbe Std.
t0 = 50
t1 = 50 * 0,8 + 50 = 90
t2 = 90 * 0,8 + 50 = 122
t3 = 122 * 0,8 + 50 = 147,6
t4 = 147,6 * 0,8 + 50 = 168,08 (möööp, drüber)
Die Probe passt also. Die 5. Tasse darf nicht getrunkten werden.
Antwort: Nach 3,11 halben Stunden hätte ein Erwachsener 150㎎ Koffein intus. Der Erwachsene darf in diesem Rhytmus maximal 4 Tassen trinken, ohne über 150㎎ Koffein zu kommen.