Ab welcher natürlichen Zahl n fällt die Primzahlhäufigkeit unter 1 Promille?
Diverse KI /AI geben auf diese Frage völlig falsche (kann nicht stimmen) bzw. sehr ungenaue (Abweichung um den Faktor 100.000.000.000) Ergebnisse. Mit Hilfe des Integrallogarithmus und gesundem Menschenverstand meine ich eine einigermaßen plausible Lösung gefunden zu haben, hätte aber gern eine möglichst exakte Lösung. DANKE im voraus!
3 Antworten
Hallo.
bzw. sehr ungenaue (Abweichung um den Faktor 100.000.000.000) Ergebnisse
Das erscheint mir ehrlich gesagt nicht mal besonders ungenau. 😮😉
https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlsatz
10^27 = 0,016352
10^28 = 0,015759
10^29 = 0,015207
Also selbst bei 100 Quadrilliarden, und ich musste nachschlagen wie man 10^29 als Zahl nennt, ist die Dichte noch bei rund 1,5%. Wir orientieren uns hier also in Richtung von vermutlich mindestens 10^100 (ein Googol), da finde ich eine Abweichung von +- 10^11 verschwindend gering. 🤷♀️
Das ist ungefähr so, als würdest du die Entfernung der Andromeda-Galaxie um ein paar Millimeter inkorrekt angeben.
Auf welche Zahl kamst du denn mit dem Integrallogarithmus?
LG
Nachtrag:
Ich habe Wolframalpha mal gefüttert mit
solve (x/(ln(x)-1.08366))/x = 0.001
und bekam als Ergebnis
ca 6 × 10^434
Allerdings ist
eben auch nicht allzu genau, trotzdem hoffe ich, dass die Abschätzung ausreichend gut für deine Zwecke ist. 👍
Ich interpretiere die Häufigkeit als Dichte, dies ist in etwa 1/ln(x). Du musst also die Ungleichung 1/ln(x) < 0.001 lösen. Macht x > e^1000, da streikt der Taschenrechner ....
Danke, ich hatte keinen Rechner gefunden, der so große Zahlen verarbeiten kann, hatte aber herausgefunden, dass bei 10^217 etwa die Häufigkeit von 2 Promille unterschritten wird, also musste bei etwa 10^434 die 1 Promille-Marke unterschritten werden, habe ich geschlossen. Danke für das exaktere Ergebnis!
Chat GPT wirft übrigens 10^423 aus, was einen Fehler vom Faktor 10^11 zu klein ist ... Dagegen war meine Abschätzung mit Fehlerfaktor von etwa 2 (zu klein) fast korrekt (-;
Wie bereits in meiner Antwort erwähnt, ist das aber auch nicht unbedingt genau.
n/ln(n)
scheint zu klein zu sein.
n/(ln(n) - 1.08366)
hingegen scheint zu groß zu sein. Es wird also vermutlich irgendwo zwischen
2 * 10^434
und
6 * 10^434
liegen.
LG
LLM (wie z.B. ChatGPT) sind nicht unbedingt kompetente Ansprechpartner wenn es um mathematische Fragen gibt.
Des Weiteren verstehe ich selbst deine Frage nicht so wirklich.
Hallo Robert,
unter den ersten 100 natürlichen Zahlen gibt es 25 Primzahlen, also 25%. Unter den ersten 1000 gibt es 168 PZ, also 16,8% und unter den ersten 10.000 gibt es 1229 PZ, also 12,29%. Je größer die Menge der natürlichen Zahlen, desto kleiner ist der prozentuale Anteil der Primzahlen. Und nun frage ich mich, wie groß die Menge der natürlichen Zahlen sein muss, dass der prozentuale Anteil unter 0,1% also unter 1 Promille fällt!
Enrico
Laut wolframalpha ca 1.97 * 10^434 👍