Wieso heißt es Muttersprache und nicht Vatersprache oder Elternsprache?

Ja, deine Vermutung ist naheliegend, die Mutter ist nun mal die allerwichtigste Bezugsperson in den ersten Jahren, denn sie beschützt den Säugling und gibt ihm Nahrung.

In anderen Sprachen ist es übrigens genauso (engl. "mother tongue", franz. "langue maternelle")

Man könnte aber fast schon Wetten darauf abschließen, dass in nicht allzuferner Zukunft irgend ein "woker" Trottel daherkommt und das Wort "Muttersprache" in Frage stellen wird. Wie du schon sagst, "Elternsprache" scheint mir da schon heute ein sehr verdächtiger Kandidat.

Das scheint noch aus der alten Zeit zu kommen, es heißt ja auch Vaterland, aber dann Muttersprache. Wahrscheinlich weil die Kinder früher immer bei der Mutter waren und der Vater fürs Land gekämpft hat.

Glaubt ihr, dass ein Kind in den grundsätzlichen Fällen eine engere Bindung zur Mutter als zum Vater und es deshalb so heißt oder wie?

Nein.

Das Wort ist schon älter und früher wurden Kinder von müttern unterrichtet, also auch das sprechen würde ihnen von der Mutter meist beigebracht, darum