Wenn man die e-Funktion als Funktion von IR nach IR auffasst dann ist sie nicht surjektiv, weil zb -1 nicht getroffen wird

Bei deiner Definition bin ich mir nicht ganz sicher. Man sollte besser schreiben: Surjektiv bedeutet dass es zu jedem Element y der Zielmenge mindestens ein Element x aus der Wertemenge gibt, welches auf y abgebildet wird (also f(x) = y)

Würde man hingegen die e-Funktion als Funktion von IR nach IR>0 (also positive reelle Zahlen) auffassen, dann wäre sie surjektiv, es kommt also alles nur darauf an wie deine Funktion genau definiert ist

Das Tn was da definiert ist die Formel für das Taylorpolynom n-ten Grades. Die Taylorreihe wäre der Grenzwert für n->unendlich. Generell würde ich aber sagen dass man die beiden Begriffe gleich verwenden kann. Wenn du eine Funktion f hast und diese approximieren möchtest, kann man zb eine Taylorreihe verwenden, sie ermöglicht es dir, deine möglicherweise komplizierte Funktion als Polynom zu approximieren, das kann häufig sehr nützlich sein

Man kann zwar sowas wie 1 -> 3 durchaus als Abbildung f:{1} -> {3} auffassen wenn man möchte, also sind so gesehen die Spalten alles Abbildung, aber das ist nicht wirklich sinnvoll. Eine Permutation ist sozusagen die Sammlung von solchen Abbildungen, also zb. ist 1->3, 2->1, 3->2 eine Darstellung einer Permutation, die einzelnen Abbildungen sind hingegen keine Permutationen, sie sind ja insbesondere keine Abbildungen der Form f:X->X, außer im Spezialfall wo deine Permutation zb 1 auf 1 schickt, dann wäre f:{1} -> {1} rein definitionsgemäß auch eine Permutation

Langer Rede kurzer Sinn: Die einzelnen Abbildungen sind keine Permutationen, die Sammlung von solchen Abbildungen hingegen schon

Bei Übergangsmatrizen muss man die Wahrscheinlichkeiten reinschreiben, nicht die absolute Anzahl. Da nur alle zwei Tage geschaut wird, macht man also zwei Durchgänge, dh. du musst die "normale" Übergangsmatrix quadrieren damit du die Übergangsmatrix zum übernächsten Tag bekommst