Ja, kann er. Da auch das Krankenhaus unter Umständen mal belegen können muss, wer zu welchem Zeitpunkt auf Seite XY war, werden IP Adressen und deren Zuordnung zur MAC Adresse Deines Gerätes protokolliert. Für gewöhnlich werden die Betreiber aber Content-Filter in Ihre Firewall integriert haben, welche den Besuch verschiedener Websites gar nicht erst gestatten.
Im Normalfall, wenn Du nicht gerade auf illegalen Seiten unterwegs bist, wird sich niemand dafür interessieren, wo Du Dich im Netz herumgetrieben hast.
Die Kollegen der IT des Krankenhauses können theoretisch jedes einzelne Bit mitverfolgen. Es gibt aber auch hier gesetzliche Regelungen, was erlaubt und was verboten ist. Würde sich herausstellen, dass einer der IT'ler unerlaubter Weise Deinen Datenstrom ausgespäht hat, verlöre er seinen Arbeitsplatz und müsste mit einem Gerichtsverfahren rechnen.