Grundsätzlich zahlt derjenige, der den Gutachter beauftragt hat.Es kann einem also durchaus passieren, dass ein Gericht dieses Gutachten nicht akzeptiert. So bleibt man als Mieter zunächst auf den Kosten sitzen.Ich rate zu folgendem: In den Mieterbund eintreten, der dann den Briefwechsel mit dem Vermieter übernimmt und auch Fristen setzt zur Beseitigung des Schimmelbefalls.Rührt sich der Vermieter daraufhin nicht, kann man die Miete (nach Rücksprache mit dem Mieterbund) kürzen.Passiert dann wieder nichts, bleibt nur die Klageandrohung. Hierfür sollte man Beweismaterial sammeln (Fotos, Zeugenaussagen),Für eine solche Klage braucht man allerdings einen Anwalt, da der Mieterbund keine Prozesse führt. Allerdings hat er meist Adressen von entsprechenden Anwälten parat. Bevor man das alles in die Wege leitet, sollte man unbedingt eine Rechtschutzversicherung abschließen, die auch MIetangelegenheiten umfasst.Ansonsten gilt: möglichst keine  mündlichen Absprachen mit dem Vermieter, bei Telefonaten zumindest ein Gesprächsprotokoll anlegen, am besten das Telefonat im Beisein von Zeugen führen. Falls sich gar nichts ührt, bleibt irgendwann nur die Klageerhebung beim zuständigen Amtsgericht.Das Ergebni eines solchen Prozesses kann durchaus sein, dass dir das Geld für den Gutachter erstattet wird.

Meine Frau und ich machen gerade genau solch eine Geschichte durch.

Viel Erfolg, lass dir nichts bieten!