Bis hier kann jeder folgen.
Bruch zusammen fassen, ursprünglichen Zähler ausklammern.
Du siehst jetzt, wenn wir (k+n-1)!/(n!k!) zusätzlich ausklammern lässt sich rechts etwas kürzen:
Schreibe den rechten Bruch aus, also als Summe bestehend aus zwei Elementen:
Im ersten Summand kürzt sich (n-1)!, es bleibt k!/(k-1)! stehen, was ist das? Klar, einfach k. Gehe mit dem zweiten Summand ebenso vor am Ende steht:
Fast geschafft, nun stört die -1, tja, mal überlegen:
(k+n)!/(k+n) = (k+n-1)! ganz einfach aus dem Grund, weil k+n bei der Fakultät wegfällt und wir bei k + n - 1 beginnen
Fertig - k+n kürzt sich weg.
Edit: Nach dem zweiten Bild: