Also deine Funktion ist f(x)= x^4-3x^3
1. Nullstellenbestimmung: x^4-3x^3=0
1.1 Ausklammern x^4-3x^3= x* (x^3-3x^2), das machst du so oft, bis du mit dem Term, der dann rauskommt, etwas anfangen kannst. Das sieht dann am Ende so aus: f(x)=x^3*(x-3)=0. Nun verwenden wir den Satz vom Nullprodukt:
Satz vom Nullprodukt: Gilt für beliebige reelle Zahlen a und b a*b=0, so gilt entweder a=0 oder b=0.
1.2 Umformen
In unserem Fall ist a=x^3 und b=x-3. Nun machen wir eine Fallunterscheidung, da ja entweder a=0 'oder' b=0 gelten muss. Wenn x^3=0 ist, dann gilt x=0, also ist 0 Element der Lösungsmenge der Gleichung, demnach also eine Nullstelle. Wenn x-3=0 ist, dann gilt x=3, also ist 3 auch ein Element der Lösungsmenge der Gleichung ergo eine Nullstelle. L={0;3}
2. Extrempunktbestimmung
Wie du weißt, hat die Ableitung einer Funktion die verschiedenen Tangentensteigungen an jedem Punkt einer Funktion f:R--->R als Wertemenge, also ist die Ableitung so definiert: f':R---->{a Element R| a ist die Steigung der Tangente an einem Punkt (x|f(x))}.
Wenn die Funktion f einen Extrempunkt besitzt, dann bedeutet das, dass die Tangente, die an den Punkt "gelegt" wird, die Steigung 0 besitzt. Das heißt, dass der Funktionswert von f' den Wert 0 annimmt. Das heißt, man muss die Nullstelle der Ableitungsfunktion bestimmen. Gehen wir mal vor:
f(x)=x^4-3x^3
f'(x)= 4x^3-9x^2 (Nach den Ableitungsregeln: (1) f(x)=x^n ===> f'(x)=n*x^n-1
(2) f(x)= x^n-x^m ===> f'(x)=(n*x^n-1) - (m*x^m-1)
Also müssen wir wieder vorgehen, wie in 1.1 f'(x)=4x^3-9x^2=0 Hier können wir wieder ausklammern: x^2* (4x-9)=0 Jetzt müssen wir wieder den Satz des Nullproduktes verwenden===> Fallunterscheidung: x^2=0 ===> x=0
4x-9=0 ===>x=9/4
Also hat die Funktion f bei x=0 und x=9/4 einen Extrempunkt. Wenn du die Koordinaten des Extrempunktes bestimmen musst, dann kannst du einfach die Werte in die Funktionsgleichung eingeben, das Ergebnis ist dann dein y-Wert.
2.1 Mimimum oder Maximum?
Es gibt einige Kriterien zur genaueren Klassifikation von Extrempunkten. Ich werde eins davon nennen und dann anschaulich, metaphysisch erklären.
Hinreichende Bedingung: x_0 ist ein Maximum, wenn folgendes gilt: Es gibt mindestens ein ε>0, sodass für alle x∈B_ε(x_0) gilt: x<x_0 ===>f'(x)>0 und x>x_0===>f'(x)<0. Das bedeutet anschaulich, dass die Werte der Ableitungsfunktion vom Negativen ins Positive wechseln, mit x_0 als "Grenze". Du kannst also nachweisen, dass ein Punkt ein Hochpunkt ist, indem du dir ein beliebiges x<x_0 und x'>x_0 heraussuchst und zeigst, dass der Funktionswert der Ableitung von x positiv und von x' negativ ist. x_0 ist ein Minimum, wenn das ganze umgekehrt gilt, also die Relationen > und< vertauscht werden.
3. Wendepunktbestimmung
Ein (lokaler) Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Steigung ihr (lokales) Maximum erreicht und eine Linkskurve zu einer Rechtskurve wird. Die Ableitung hat dort also ihr Maximum, das bedeutet, dass die Ableitung der Ableitung (die zweite Ableitung) an der Stelle verschwindet (versuche, dir das grafisch klarzumachen). Also nehmen wir die zweite Ableitung und setzen diese gleich null:
f''(x)= 12x^2-18x=0 Dies können wir wieder durch Ausklammern lösen:
f''(x)= x* (12x-18)=0 x=0 ist also eine triviale Nullstelle und x=18/12=3/2 ist die andere Nullstelle. So kannst du nun wieder deine x-Werte in die Funktionsgleichung (der Ursprungsfunktion, wohlgemerkt) einsetzen und bekommst so die Koordinaten des Wendepunktes.
Um zu bestimmen, ob ein Wendepunkt die Wende von einer Links-zu einer Rechtskurve oder andersherum ist, kannst du wieder das gleiche Schema wie bei der Klassifizierung eines Mimimums, bzw. Maximums verwenden.