Also deine Funktion ist  f(x)= x^4-3x^3   

1. Nullstellenbestimmung:   x^4-3x^3=0

    1.1 Ausklammern     x^4-3x^3=  x* (x^3-3x^2), das machst du so oft, bis du mit dem Term, der dann rauskommt, etwas anfangen kannst.  Das sieht dann am Ende so aus:  f(x)=x^3*(x-3)=0.  Nun verwenden wir den Satz vom Nullprodukt:  

Satz vom Nullprodukt:   Gilt für beliebige reelle Zahlen a und b   a*b=0, so gilt entweder a=0 oder b=0.

1.2 Umformen

In unserem Fall ist a=x^3 und b=x-3.  Nun machen wir eine Fallunterscheidung, da ja entweder a=0 'oder' b=0 gelten muss. Wenn x^3=0 ist, dann gilt x=0, also ist 0 Element der Lösungsmenge der Gleichung, demnach also eine Nullstelle. Wenn x-3=0 ist, dann gilt  x=3, also ist 3 auch ein Element der Lösungsmenge der Gleichung ergo eine Nullstelle.   L={0;3}

2. Extrempunktbestimmung

Wie du weißt, hat die Ableitung einer Funktion die verschiedenen Tangentensteigungen an jedem Punkt einer Funktion f:R--->R  als Wertemenge, also ist die Ableitung so definiert:  f':R---->{a Element R| a ist die Steigung der Tangente an einem Punkt (x|f(x))}.

Wenn die Funktion f einen Extrempunkt besitzt, dann bedeutet das, dass die Tangente, die an den Punkt "gelegt" wird, die Steigung 0 besitzt.  Das heißt, dass der Funktionswert von f' den Wert 0 annimmt.  Das heißt, man muss die Nullstelle der Ableitungsfunktion bestimmen. Gehen wir mal vor:

f(x)=x^4-3x^3   

f'(x)= 4x^3-9x^2  (Nach den Ableitungsregeln:  (1)  f(x)=x^n ===> f'(x)=n*x^n-1

                                                                           (2) f(x)= x^n-x^m ===> f'(x)=(n*x^n-1) - (m*x^m-1)

Also müssen wir wieder vorgehen, wie in 1.1   f'(x)=4x^3-9x^2=0  Hier können wir wieder ausklammern:  x^2* (4x-9)=0  Jetzt müssen wir wieder den Satz des Nullproduktes verwenden===> Fallunterscheidung:     x^2=0 ===> x=0

                                                                                               4x-9=0 ===>x=9/4

Also hat die Funktion f bei x=0 und x=9/4 einen Extrempunkt. Wenn du die Koordinaten des Extrempunktes bestimmen musst, dann kannst du einfach die Werte in die Funktionsgleichung eingeben, das Ergebnis ist dann dein y-Wert. 

  2.1  Mimimum oder Maximum?

Es gibt einige Kriterien zur genaueren Klassifikation von Extrempunkten. Ich werde eins davon nennen und dann anschaulich, metaphysisch erklären. 

Hinreichende  Bedingung:    x_0 ist ein Maximum, wenn folgendes gilt:  Es gibt mindestens ein  ε>0,  sodass für alle x∈B_ε(x_0)  gilt: x<x_0 ===>f'(x)>0  und x>x_0===>f'(x)<0.  Das bedeutet anschaulich, dass die Werte der Ableitungsfunktion vom Negativen ins Positive wechseln, mit x_0 als "Grenze".  Du kannst also nachweisen, dass ein Punkt ein Hochpunkt ist, indem du dir ein beliebiges x<x_0 und x'>x_0 heraussuchst und zeigst, dass der Funktionswert der Ableitung von x positiv und von x' negativ ist.   x_0 ist ein Minimum, wenn das ganze umgekehrt gilt, also die Relationen > und< vertauscht werden.

3. Wendepunktbestimmung

Ein (lokaler) Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Steigung ihr (lokales) Maximum erreicht und eine Linkskurve zu einer Rechtskurve wird.  Die Ableitung hat dort also ihr Maximum, das bedeutet, dass die Ableitung der Ableitung (die zweite Ableitung) an der Stelle verschwindet (versuche, dir das grafisch klarzumachen). Also nehmen wir die zweite Ableitung und setzen diese gleich null:

f''(x)= 12x^2-18x=0  Dies können wir wieder durch Ausklammern lösen:

f''(x)= x* (12x-18)=0   x=0 ist also eine triviale Nullstelle und x=18/12=3/2 ist die andere Nullstelle. So kannst du nun wieder deine x-Werte in die Funktionsgleichung (der Ursprungsfunktion, wohlgemerkt) einsetzen und bekommst so die Koordinaten des Wendepunktes. 

Um zu bestimmen, ob ein Wendepunkt die Wende von einer Links-zu einer Rechtskurve oder andersherum ist, kannst du wieder das gleiche Schema wie bei der Klassifizierung eines Mimimums, bzw. Maximums verwenden.

...zur Antwort

Innerhalb welcher Zeit?  Du brauchst doch deine Integrationsgrenzen.

...zur Antwort
Logikfehler in der Relativitätstheorie: Ist sie durch folgenden Widerspruch (in der Beschreibung) nicht widerlegt - und ein festes Bezugssystem damit bewiesen?

Also: Wenn wir uns in einem Raumschiff mit nahezu Lichtgeschwindigkeit relativ zu einem Planeten wie der Erde fortbewegen, dann vergeht die Zeit ja innerhalb des Raumschiffs von der Erde aus betrachtet viel langsamer* (fast so als wären wir erstarrt).

Vom Inneren des Raumschiffs aus betrachtet, vergeht die Zeit auf der Erde dann wie in Zeitraffer, weil unsere Gehirnsignale ja ebenso der verlangsamten Zeit unterworfen sind, sodass wir uns im Schiff scheinbar ohne Veränderung bewegen können - doch alles außerhalb bewegt sich scheinbar sehr viel schneller.

Nun zu meiner Diskrepanz:
Laut der Relativitätstheorie gibt es ja gar kein festes Bezugssystem im Universum.

Demnach könnten wir doch aber überhaupt nicht feststellen ob wir im Raumschiff mit nahezu Lichtgewschwindigkeit an der Erde vorbeifliegen - oder ob diese sich mit nahezu Lichtgeschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung an uns vorbeibewegt.

Unsere vorherige Beschleunigung kann das auch nicht klären, denn diese könnte ja theoretisch als ein „Abbremsen“ relativ zum fast lichtschnellen Planeten gewertet werden.

Doch wenn es darum geht, wo die Zeit denn nun relativ langsamer verläuft und wo schneller, macht das Ganze ja einen gewaltigen Unterschied!

Muss es dann nicht doch so etwas wie ein festes Bezugssystem im Raum geben?

Vielen Dank schon mal für jede gute Antwort! :-)

https://de.wikipedia.org/wiki/Zeitdilatation

...zum Beitrag

Die Zeitdilatation wirkt in beiden Bezugssystemen. Die zeit von der Erde vergeht vom Raumschiff aus langsamer und die Zeit des Raumschiffs vergeht von der Erde aus langsamer.

Was deine "vorige Beschleunigung" sein soll, weiß ich auch nicht, weil du dein Konzept nicht richtig erklärt hast. Das mit dem Bremsen ergibt daher nicht sonderlich viel Sinn.

Nichts für ungut, vielleicht gewinnst du ja mal für etwas anderes den Nobelpreis ;)

...zur Antwort

Das passiert, wenn man in der Schule nur Dinge gezeigt, aber nicht hergeleitet bekommt. Um dir wirklich zu erklären, was das ist, muss ich jetzt ein wenig abstrakt sein. 

Stelle dir vor, du hast eine mathematische Struktur, beispielsweise eine Funktion.  Nun gibt es in der Mathematik Operatoren, das sind einfach gesagt, Dinge, die man auf diese mathematische Struktur anwenden kann, damit sie sich in ihrer Struktur transformieren.

Struktur A -----> Operator ----> Struktur A'

Die Ableitung ist beispielsweise ein Differentialoperator, das heißt, du wendest den Operator auf eine Funktion an,   das, was am Ende rauskommt gibt dir die Ergebnisse, die du haben willst. Die Ableitung an einem Punkt gibt dir die Steigung an jenem Punkt. Wenn der Ableitungsoperator an jedem Punkt anwendbar ist, dann ist die Funktion differenzierbar

Funktion ------> Ableiungsoperator ------> Ableitungsfunktion

oder auch   d/dx f(x)    d/dx ist hierbei der Ableitungsoperator. 

Nun kannst du dir allerdings auch noch andere Operatoren, wie die Wurzel sqrt(x) denken.  Dir fällt auf, dass das Quadrat eine Art Entgegensetzung zur Wurzel zu sein scheint. Wenn du eine Zahl quadrierst und dann die Wurzel davon ziehst, kommt wieder die Zahl selbst raus.  Es gibt also auch eine sogenannte inverse Operation, die die Operation vom Anfang umkehrt.

Bei Exponentialfunktionen ist es beispielsweise die Logarithmusfunktion, usw. usf.  

(Ich weiß, dass Funktionen und Operatoren im sehr engen Sinne nicht exakt das Gleiche sind, aber das ist in diesem Fall irrelevant, es geht um die Verdeutlichung eines Inversen)

Nun kann man sich denken, dass es einen Inversen Operator zum Ableiten geben muss, das schreibt man dann (d/dx)^-1   Um der Analogie oben zu folgen, müsste man dann die Worte einfach vertauschen:

Ableitungsfunktion ------> (d/dx)^-1 ---->  Funktion

Also kannst du dir vorstellen, dass wenn du eine Funktion hast, dir vorstellst, dass diese selbst die Ableitungsfunktion einer anderen ist, diese musst du dann durch integrieren herausfinden.

Dür den inversen Operator gibt es eine eigene Schreibweise nach Leibniz (glaube ich, keiner weiß, ob Newton oder Leibniz für den ganzen Integralkram die Lorbeeren verdienen) :

(d/dx)^-1  f(x)  =  int(f(x))     Das lässt sich hier nicht darstellen, stelle dir ein langgezogenes S vor dem Funktionsterm vor, das ist dann dein unbestimmtes Integral. 

Was hat die Stammfunktion mathematisch zu bedeuten?

Aus schulmathematischer Sicht berechnest du damit durch den Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung die Fläche, die zwischen zwei Punkten unter einer Kurve verläuft, int (a,b) f(x) = F(a) - F(b)    Warum der Zusammenhang wirklich gilt, lässt sich gut beweisen, wenn dich das interessiert, dann schreibe das in einem Kommentar, dann schicke ich dir einen Beweis.

Die Natur des Integrals selbst erfasst man wohl erst im Studium, wenn man dann mehrdimensionale Integration (für Funktionen mit mehr als einer Veränderlichen) durchführt und es dann auch um topologische Mannigfaltigkeiten mit ihren Rändern geht.

...zur Antwort

Haha, wie die vulgäre Analyse.

...zur Antwort

Stelle dir vor, dass du eine lineare Abbildung l:R^2--->R^2 konstruieren willst.

Den Lösungsvektor hast du schon durch die "Ergebnisse" deiner Gleichungen gegeben, da es zwei gibt, hat der Vektor auch zwei Komponenten. Jetzt brauchst du noch deine Abbildungsmatrix, das ist eine 2x2 - Matrix, dann hast du deine lineare Abbildung.

Konkreter:   Dein Gleichungssystem lautet:

2x+3y=7

2y+3x=11

Das kannst du umschreiben in 

( 2   3 )       *  (x,y)^T =   (7, 11)^T

( 3   2 )

Das ganz links soll die Abbildungsmatrix sein. 

LÖSUNGSVERFAHREN

Gängige Methode: Gauß-Verfahren/Algorithmus

Allgemein: Du schreibst dein GLS folgendermaßen um:

(2   3  /  7)    I

(3   2  /  11)  II

Du versuchst nun, eine 0 in die untere linke Ecke zu bekommen, indem du mit den Gleichungen operierst. (bei mehrvariabligen GLS musst du die Matrix in die sog. Stufenform bringen, falls es dich interessiert, dazu später mehr)

Du kannst die einzelnen Gleichungen miteinander multiplizieren,subtrahieren, usw, bis das gewünschte Ergebnis herauskommt.

Du nimmst also 3II - 2I, das ist dann

(2  3  /  7) I

(5  0 / 19) IIA

Jetzt hast du 5x=19 ==> x= 19/5

Das setzt du in die obere Gleichung ein und löst nach y auf.

Bei Fragen,  konstruiere einfach einen Kommentar. 

...zur Antwort

Nein.

...zur Antwort

Also bei ganzrationalen Funktionen gibt es zwei Kriterien, die für Punktsymmetrie und Achsensymmetrie zur y-Achse "stehen": 

Sei f:R--->R eine ganzrationale Funktion. f heißt achsensymmetrisch, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist

f(x)=f(-x)

und punktsymmetrisch, wenn 

f(x)=-f(x) gilt.

Wenn ein Polynom einen geraden Grad  und sonst keine ungeraden Exponenten in der Funktionsgleichung hat, so muss sie achsensymmetrisch sein, da jede negative Zahl mit einem geraden Exponenten positiv wird.

(Beispiel:  (-1)^1= -1    (-1)^2= +1  (-1)^3=-1 (-1)^4=+1  Falls es dich interessiert: Das hier wird alternierende Reihe genannt, sie wechselt zwischen 1 und -1)

Das gleiche Schema gilt für negative Exponenten, nur dass es eben andersherum ist, wie du in dem Beispiel gesehen hast.

Bei Exponentialfunktionen ist es nun nur so, dass der Exponent selber eine Variable ist. Und intuitiv kannst du dir denken, dass eine Exponentialfunktion als solche nicht achsensymmetrisch zur y-Achse sein kann.

Wir könn's ja mal meinetwegen durchrechnen:

f(x)=f(-x) ====> e^x=e^-x= 1/e^x   Das gilt ganz sicher nicht für alle reellen Zahlen! Siehe 2 != 1/2  Du siehst, dass du hier die normalen Gesetze der (ganz)rationalen Funktionen nicht anwenden kannst. Deswegen sind die Exponentialfunktionen auch eine Klasse für sich.

...zur Antwort

Spätestens bei den Ozeanen wirds schwierig.......

...zur Antwort

Hallo alpha7771,

deine Frage ist durchaus berechtigt und gut, jedoch wirst du in populärwissenschaftlichen Magazinen (oder Foren) oft keine richtige Anwort dazu finden, da extrem viele Leute auf Hawkings populärwissenschaftliche Erklärungsversuche seiner Entdeckung in seinem Buch "Eine kurze Geschichte der Zeit" mit den ominösen "Vakuumfluktuationen" reingefallen sind.

Die Hawking-Strahlung ist eine thermische Strahlung. Hawking hat durch Berechnungen über Quantenfeldtheorien in der Nähe von Ereignishorizonten herausgefunden, dass Schwarze Löcher Strahlung in einer solchen Art emittieren müssten als wären sie Objekte mit hoher Temperatur. Genauer folgt dies aus der zeitabhängigen Metrik, die man in der Nähe eines Ereignishorizontes anwenden muss.  Hier seine Originalarbeit: https://www.brainmaster.com/software/pubs/physics/Hawking%20Particle%20Creation.pdf

Das ist knallharte Mathematik und hat nichts mit Teilchen-Aniteilchen-Paaren, die irgendwie hinter den Horizont geraten zu tun.

LG

...zur Antwort

Das bedeutet Rechnen, ohne dass das auf dein Blatt geschriebene eins zu eins mit dem Abbild der Wirklichkeit korreliert, aber diese abstrakt und nur mit Variablen und Rechengesetzen beschreibt.

(Nebenbei, einfach weil ich Lust habe: 

Aufgabe 1)   LW1 Addition von Geschwindigkeiten  v_A+v_B= v  Nun berechnet man, in welcher Zeit ein hypothetisches Auto mit der Geschwindigkeit v diese Strecke zurücklegen würde:  s=v*t  t=s/v  = 70/140 = 1/2 Stunden.  Der Lösungsweg bedeutet nur, dass ein Auto mit 140 km/h genau an dem Zeitpunkt am anderen Ende ankommt, wenn sich die beiden ursprünglichen Autos treffen.

LW2  Du nimmst die Formel für die Strecke   s=v*t und s'=v'*t   für die beiden Fahrzeuge und setzt sie gleich, weil sie am Treffpunkt logischerweise zur gleichen Zeit  am gleichen Ort sind.  Nicht vergessen, dass du eine der Streckenangaben von 100 abziehen musst, weil sie einander entgegenkommen.  Dann löst du eifnach auf.


...zur Antwort