Für 2x2 ganz easy, bei 3x3 wird es kniffliger. Ich hoffe ich kann nach 5 Jahren noch interessierten helfen.
Der Lösungsansatz besteht darin ein allgemeines 2x2 LGS mit dem Additionsverfahren aufzulösen.
Also:
l k1*x+k2*y=h
ll k3*x+k4*y=u
1.) l * k3
2.) ll * -k1
3.) ll´ + l´ oder l´ + ll´
Dadurch ergibt sich:
k3*k2*y-k1*k4*y=k3*h-k1*u
y*(k3*k2-k1*k4)=k3*h-k1*u
y=(k3*h-k1*u)/(k3*k2-k1*k4)
Rechnerisch umdrehen: (a-b)/(c-d)=(b-a)/(d-c); a*b=b*a
y=((k1*u-k3*h)/(k1*k4-k3*k2))
Wenn man nach x auflösen würde, kommt das heraus:
x=((k4*h-k1*u)/(k1*k4-k3*k2))
Es fällt das das der Nenner in beiden Fällen gleich ist.
Betrachtet man die Koeffizientenmatrix:
(k1 k2)
(k3 k4)
So sieht man das das Kreuzprodukt dieser Matrix gleich der Nenner ist.
Sprich: links oben mal recht unten minus links unten mal rechts oben
Das bezeichnen wir ab sofort als Determinante. Wir schreiben entweder:
lk1 k2l
lk3 k4l
= k1*k4-k3*k2
oder:
dt (k1 k2)
(k3 k4)
= k1*k4-k3*k2
Somit wäre die Determinante eingeführt.
Doch funktioniert das auch mit den Zähler?
Es fällt auf, wenn man Dx raus bekomme will, man lediglich die Spalte in der sich x befindet den "Lösungsspaltenvektor" einsetzt und das gleiche wie vorhin macht.
Dx = lh k2l
lu k4l
= h*k4-u*k2
So ebenfalls für Dy:
Dy = lk1 hl
lk3 ul
= k1*u-k3*h
Somit kann man allgemein schreiben:
x=Dx/D
y=Dy/D
Damit wäre die Determinante eingeführt, so wie die Cramersche Regel hergeleitet.
Für einen Beweis Buchstaben verwenden und x, sowie y nach der Cramerschen Regel definieren und in das LGS einsetzen und schauen ob h und u herauskommen.
Für 3x3 kannst Du es mal selbst ausprobieren, dabei ist Konzentration erfordert, werden viele Buchstaben.
