Ich versuche es mal: ein Zeichen ist eine deutliche Nachricht, wie zum Beispiel ein Pfeil oder ein Straßenschild, während ein Anzeichen eher subtiler, unfreiwilliger ist, wie die Anzeichen einer Krankheit.
Der Duden drückt es so aus:
Zeichen
etwas Sichtbares, Hörbares (besonders eine Geste, Gebärde, ein Laut o. Ä.), das als Hinweis dient, etwas deutlich macht, mit dem jemand auf etwas aufmerksam gemacht, zu etwas veranlasst o. Ä. wird
der Kenntlichmachung von etwas, dem Hinweis auf etwas dienende Kennzeichnung, Markierung oder als solche dienender Gegenstand
(für etwas) festgelegte, mit einer bestimmten Bedeutung verknüpfte, eine ganz bestimmte Information vermittelnde grafische Einheit; Symbol
etwas (Sichtbares, Spürbares, besonders eine Verhaltensweise, Erscheinung, ein Geschehen, Vorgang, Ereignis o. Ä.), was jemandem etwas zeigt, für jemanden ein Anzeichen, Symptom, Vorzeichen darstellt
Anzeichen
Vorzeichen
Beispiele
Anzeichen eines Gewitters,
die Anzeichen für eine Krise mehren sich,
die ersten Anzeichen (Symptome) einer Krankheit,
wenn nicht alle Anzeichen trügen, verlässt sie bald unsere Abteilung
Zeichen, das etwas erkennen lässt; Merkmal
Beispiel
Anzeichen von Reue erkennen lassen