Wieviele Diagonalen hat ein n-Eck?

Nimm einen Eckpunkt. Von dort gehen zu den beiden Nachbarpunkten die "normalen" Verbindungslinien, und zu allen anderen Punkten (außer diesen 3en (die 2 Nachbarn und sich selbst)) können Diagonale gezeichnet werden. Das gilt für alle n-Ecken, macht also n * (n-3) Diagonale. Da bei dieser Überlegung aber alle Diagonalen doppelt gezählt werden, also z. B. Diagonale AE und EA, muss noch durch 2 geteilt werden, also: n * (n-3)/2 ist die Anzahl aller Diagonalen im n-Eck.

Das kann man sich ja sehr einfach überlegen.

Wenn Du die Diagonalen nicht doppelt zählst (also P1 -> P2 = P2 -> P1), dann kannst Du:

• Den ersten Punkt mit n-1 weiteren Punkten verbinden
• Den zweiten Punkt mit n-2 weiteren Punkten verbinden
• usw.

Bedeutet, die Anzahl der Diagonalen ist (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1 Diagonalen. Wir wissen, dass diese Summe zusammengefasst n(n-1) : 2 ergibt (Gaußsche Summenformel oder auch Kleiner Gauß genannt).

Da sind aber die Verbindungen der direkten Nachbarn noch eingerechet. Diese sind keine Diagonalen und daher muss man diese abziehen. Das sind n Stück, somit ist die Anzahl der Diagonalen:

D = n * (n - 1) : 2 - n = n * (n - 3) : 2

http://hansney.de/HoPa/Beweistechnik1.html

Kommt das nicht auf die N (Eckpunkte) an?

Oder willst du die Formel dazu wissen?