Wie mache ich Aussagen über ganzrationale Funktionen?
Was soll ich bei diesen aufgaben hinschreiben, ich verstehe sie nicht
2 Antworten
a) eine Funktion n.Grades hat maximal n Nullstellen (und max. n-1 Extremstellen). Der abgebildete Ableitungsgraph hat eine doppelte Nullstelle bei x=b und eine einfache bei x=d, also quasi 3 Nullstellen, also ist f' eine Funktion 3. Grades
b) hier würde ich die Intervalle noch angeben, also steigend von d bis unendlich; sinkend von minus-unendlich bis d; Begründung hast Du: die Funktionswerte von f' geben die Steigung von f an, und die sind unter der x-Achse negativ
c) bei x=b ist die Steigung von f Null, das Vorzeichen wechselt aber nicht, d. h. f fällt hinter x=b weiter, somit ist dort eine Wendestelle (genaugenommen ein Sattel-/Terrassenpunkt); bei x=c hat f' eine Extremstelle, bedeutet für f Wendestelle; bei x=d ist f'=0 mit Vorzeichenwechsel,also hat f dort eine Extremstelle, genauer ein Minimum, weil die Steigung von fallend nach steigend wechselt
e) da f' eine Funktion dritten Grades ist, ist f eine Funktion 4. Grades. In diesem Fall kommt f aus dem Plus-unendlichen, hat dann ihren Sattelpunkt, dann einen Tiefpunkt und kehrt am Ende ins Plus-unendliche zurück. Je nachdem wie Du f "hoch/runter" verschiebst, hat f entweder 0 oder 2 Nullstellen (eine doppelte im Tiefpunkt, wenn man diesen auf die x-Achse legt); aufgrund des Sattelpunkts sind 4 Nullstellen nicht möglich.
Du kannst f' so verschieben, dass f' drei Nullstellen hat. Was wäre dann der Grad von f'? Was demzufolge der Grad von f?
b ist eine doppelte Nullstelle von f'. An dieser Stelle hat f einen Sattelpunkt. c ist ein Extremwert von f', an dieser Stelle hat f einen Wendepunkt. d ist eine einfache Nullstelle von f', an dieser Stelle hat f ein Minimum (da die Steigung von f', also f'', an dieser Stelle positiv ist).
All dies steht sicher auch in deinen Unterlagen.
https://www.mathebibel.de/kurvendiskussion-ganzrationale-funktion
Mit Hilfe von "kommt aus dem +unendlichen, hat einen Sattelpunkt bei b, fällt bis d (da die Tagentensteigung bis d immer kleiner als 0 ist), hat ein Minimum bei d und steigt dann ins +unendliche" solltest du die Funktion zeichnen können. Wieviele Nullstellen kann eine Funktion mit lediglich einem lokalen Extremwert höchstens haben?