Wie kann man diese Aufgabe über Linare Gleichungen lösen?
Die Frage wurde in verschiedenen Foren schon öfters gestellt allerdings hab ich keine der Antworten verstanden und versuche mein Glück jetzt mal hier.
Eine Wandergruppe, die 5km pro Stunde zurücklegt, startet um 8 Uhr am See und wandert am Forsthaus vorbei zu Hellhütte.
Eine zweite Gruppe, die 4km pro Stunde schafft, startet um 9 Uhr an der Hellhütte und wandert am Forsthaus vorbei zum See. Um wieviel Uhr treffen sich die beiden Gruppen?
See -> Forsthaus = 7km
Forsthaus -> Hellhütte = 13km
(Also ingesamt 20km)
Ich soll jetzt auch noch zwei Funktionen erstellen (Mithilfe einem Verfahrens)
Hier ist die Frage in dem Buch:
2 Antworten
Stell dir ein Koordinatensystem vor, y stellt die Kilometer dar (also von 0 bis 20) und x die Zeit.
Die erste Gruppe startet bei x=8 und y=20 (da sie ja vom See aus laufen). Mit jedem x (also jeder Stunde), sinkt y um 5.
Die andere Gruppe startet bei x=9 und y=0. Mit jedem x steigt y um 4.
Wo ist der Schnittpunkt der beiden Geraden? Dafür schnapp dir am besten einfach mal ein Blatt Papier, ein Lineal und einen Stift und zeichne es ein. Das lässt sich grafisch nicht so gut ablesen, außer natürlich du zeichnest es auf Minutenbasis oder sowas, aber zumindest kannst du so schon mal abschätzen, dass sie sich irgendwann zwischen 10 und 11 Uhr treffen müssen.
Wie löst man das rechnerisch? Man erstellt erstmal die Funktionen
Gruppe A => f(x) = 20 - 5x
Gruppe B => f(x) = 0 + 4x
Das "0 +" kann man bei Gruppe B natürlich weglassen, aber ich hatte es mal dazu geschrieben, um es offensichtlich zu machen.
Wie ermittelt man den Schnittpunkt von 2 Funktionen? Man stellt sie gegenüber, beziehungsweise setzt sie gleich. Im Grunde also:
20 - 5x = 0 + 4x
Hierbei haben wir aber noch nicht berücksichtigt, dass Gruppe B ja eine Stunde später startet, dadurch verschiebt sich der Schnittpunkt ja aber. Was müssen wir also tun? Entweder man verschiebt den Startpunkt von Gruppe A oder Gruppe B.
Ich persönlich finde es gedanklich einfacher zu berücksichtigen, dass Gruppe A in der Zeit von 8 bis 9 Uhr (also 1 Stunde) bereits 5 km zurückgelegt hat. Entsprechend sind sie nicht mehr bei KM 20 (am See) sondern schon 5 km weit gelaufen, also noch 2k vom Forsthaus entfernt. Der Startpunkt beträgt also nicht mehr 20, sondern 15.
15 - 5x = 4x
9x = 15
x = 1 2/3
Also nach 1 2/3 Stunden (60 + 40 = 100 Minuten), treffen sich die beiden Gruppen, ausgehend von 9 Uhr, wo Gruppe B gestartet ist -> deswegen hatten wir ja von den 20 bereits 5 abgezogen.
9 Uhr + 100 Minuten = 10:40 Uhr.
Ich hoffe, das war verständlich erklärt. :)
Start- und Endpunkt der Route. Die einen starten vom Ziel und laufen zum Start. Die anderen laufen vom Start zum Ziel.
Startpunkt = 0
Endpunkt = 20
Die 0 kann man sich in der Gleichung natürlich schenken, sie dient nur zur Veranschaulichung. Sie starten vom Punkt 0 (y-Achse) und laufen 20 km Richtung Ziel mit 4 km pro Stunde.
Vielen Dank, jetzt ist es klar! Aber woher weiß man ob jetzt der See oder die Hütte der Start/das Ende ist.
Also die Aufgabe kann auf verschiedene Arten gelöst werden, mit zwei Funktionen geht es besonders elegant. Dazu können wir uns nacheinander beide Wandergruppen ansehen.
Wandergruppe eins startet um 8 am see. Wir können 8 uhr also z.b. als den Nullpunkt der Zeitachse wählen und den See als nullpunkt der Ortsachse. Die funktion der Wandergruppe 1 (nenne wir sie f(t)) ist also zum zeitpunkt null am ort null f(0)=0. Jede Stunde kommen jetzt vier kilometer dazu. Das heißt die Funktionsgleichung lauter f(t) = 4*t mit t als der Zeit in Stunden.
Die zweite Wandergruppe (nenne wir ihre Funktion g(t)) startet um neun in 20 Kilometer Entfernung. Zum Zeitpunkt null sind sie also noch nichtmal gestartet. Zum Zeitpunkt 1 sind sie 20 kilometer vom see entfernt. Dann nimmt die Entfernung jede stunde um 5 Kilometer ab. Der Faktor vor dem t muss also -5 sein. Um zu garantieren, dass die Wandergruppe zum Zeitpunkt 1 zwanzig Kilometer von See entfernt ist müssen wir aber noch 25 kilometer hinzuaddieren. Die Funktion lautet also g(t) = - 5*t+25
Um jetzt das zusammentreffen beider gruppen zu bestimmen kannst du beide Funktionen in ein Koordinatensystem zeichnen (würde ich dir sowieso empfehlen) und dann den Schnittpunkt ablesen.
Oder du setzt beide Gleichungen gleich: 4*t=-5*t+25 und formst nach t um.
Ich verstehe nicht warum bei Gruppe B eine 0 ist. Ich dachte das Gruppe B auch 20 km laufen muss.
Ich verstehe nicht wo die 0 bei B herkommt, kann mir das jemand erklären.