Wie kann man diese Nachkommazahlen mathematisch korrekt darstellen, mit Summenzeichen zum Beispiel etc. also nicht einfach 0,74774477744477774444...?
1. 0,abaabbaaabbbaaaabbbb...
Bsp.:
0,74774477744477774444...
2. 0,ab(a+b)(a+b+(a+b))(a+b+(a+b+(a+b)))...
Bsp.:
0,74... (7+4=11)
0,7411... (7+4+1+1=13)
0,741113... (7+4+1+1+1+3=17)
0,74111317...
...
3. 0,(ab)(ba)((ba)(ab))(((ba)(ab))((ab)(ba)))...
Bsp.:
0,74... (47)
0,74_47... (47_74)
0,74_47_4774... (4774_74_47)
0,74_47_4774_47747447... = 0,7447477447747447...
...
3 Antworten
Vorab: Ich nehme an, dass Du nur nach einer korrekten Schreibweise für solche Zahlen fragst. Wie man so gebildete Zahlen analysiert, steht auf einem anderen Blatt.
Nr. 1 ist noch leicht: Die b-Blöcke enden an den Positionen 1, 4, 9, ... n² und sind n Stellen lang. Für a=1 und b=0 kann man das als Doppelsumme schreiben:
p = Σₙ₌₁.. (Σₖ₌₀..ₙ₋₁ 10ᵏ)10⁻ⁿ
Für allgemeine a, b hast Du dann die Zahl b/9+(a−b)·p.
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Nr. 2 ist gruselig, weil man nicht so einfach vorhersehen kann, wie viele Stellen die „Quersumme" haben wird. Das ist mehr Stringverarbeitung als Berechnung. Deshalb würde ich das nicht als Dezimalzahl schreiben, sondern als Ziffernfolge
z = ( z₁, z₂, z₃, ... ) – (enstspricht der Zahl Σ 10⁻ʲ zⱼ)
Diese Folge lässt sich durch eine Folge von Folgen z(n) = ( z₁, z₂, ... zₖ₍ₙ₎ ) annähern, indem man (rekursiv) neue Ziffern an z(n) anhängt. Formal:
- z(1) = ( a, b )
- z(n+1) = z(n) ∘ f(Σⱼ₌₁..ₖ₍ₙ₎ zⱼ)
- z = lim n→∞ z(n)
wobei man hier noch drei Funktionen vorab(¹) definieren muss, weil es keine allgemein bekannten Standardfunktionen sind:
- k(n) := die Länge der Folge z(n).
- f(m) := die Folge der Dezimalziffern einer natürlichen Zahl m, absteigend, ohne führende Nullen. (Dass das immer eindeutig geht und ⌊log₁₀ m⌋+1 Ziffern produziert(²), ist allgemein bekannt.)
- ∘ := Operator zum Aneinanderhängen von Folgen.
(¹) Ich habe die Details zuletzt erklärt, weil das leichter zu verstehen ist. In mathematischen Texten ist das aber verpönt. Erst definieren, dann verwenden!
(²) Die Gaußklammer ⌊x⌋ rundet eine reelle Zahl x auf die nächste ganze Zahl ab.
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Nr. 3 würde ich auch mit Folgen abbacken. Du musst zuerst eine Funktion r(z) definieren, die eine Folge z umdreht (rekursiv ist das billig). Dann kannst Du – wieder rekursiv – die Teilfolgen z(n) der Länge k(n)=2ⁿ definieren:
z(n+1) = z(n) ∘ r(z(n))
Der Rest geht wie bei Nr. 2.
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Ganz allgemein sind Folgen für solche Ziffernakrobatik recht brauchbar, auch wenn Du ein paar grundlegende Dinge wie Aneinanderkleben oder Umdrehen erst definieren musst. Ich habe mir die Bezeichner f(), r() und ∘ einfach ausgedacht. Wenn Du ein Lehrbuch zum Thema kennst, halte Dich besser an dessen Nomenklatur.
Meist werden die Formeln einfacher, wenn Du nur den Spezialfall a=0, b=1 (oder umgekehrt) behandelst. Der Trick „a/9+(b−a)z“ klappt ja immer.
Ja lassen sich, meist durch Division mit einem Vielfachen von 9.
Wenn Du beispielsweise 25 durch 999 teilst, erhältst Du 0,0250250 usw.
Ich bin mal gespannt ob es dafür überhaupt eine Division gibt.
Das ist eine Periode, die von mir genannten Nachkommazahlen lassen sich nicht als Periode darstellen. Die 025 bei 0,025... wiederholt sich immer wieder 0,025025025025025025025025025025025025..., die 74 bei 1. 0,74... wiederholt sich nicht einfach wieder 0,747744777444777744447777744444777777444444...
Die erste ist schon schwer genug, 0,abaabbaaabbbaaaabbbb...
= a * Summe( n = 1; unendlich; 10^(-n^2) ) +
b * Summe( n = 1; unendlich; 10^(-(n+n^2)) )
Das führt zu Thetafunktionen.