Wenn man die Geschwindigkeit verdoppelt, vervierfacht sich die Radialkraft. Was ist die Begründung dafür?

Tja die Begründung...

x(t) = x0 * sin (wt)

y(t) = y0 * cos(wt)

Das wären die Koordinaten eines Punktes P auf einer Kreisbahn zu jedem Zeitpunkt t.

v_x(t) = wx0 * cos(wt)

v_y(t) = wy0 * (-sin(wt))

a_x(t) = w² x0 * (-sin(wt))

a_y(t) = w² y0 * (-cos(wt))

F = m * a

F_x(t)  = m w² x0 * (-sin(wt))

F_y(t)  = m w² y0 * (-cos(wt))

Der Summenvektor steht stets senkrecht auf der Tangente der Kreisbahn.

Er ist gerade:

F_sum(t) = sqrt (F_x(t)² + F_y(t)²)

F_x(t)² + F_y(t)² ist aber sowas wie sin²(x) + cos²(x) = 1 (Gleichung aus der Trigonometrie)

(m w² x0 * (-sin(wt)))² + (m w² y0 * (-cos(wt)))²

Minus habe ich durch Quadrieren eliminiert!

(m² w^4 x0² * (sin²(wt))) + (m² w^4 y0² * (cos²(wt)))

Weiterhin definieren wir dass x0 = y0 = r0 ist. Wie auch immer der Sinus und Kosinus den Punkt auf der Kreisbahn platzieren, der Radius ist eh immer r0.

(m² w^4 r0² * (sin²(wt))) + (m² w^4 r0² * (cos²(wt)))

m² w^4 r0²(sin²(wt) + (cos²(wt)) = F_sum(t)² weil wir ja für die Vektorsumme quadrieren mussten.

Jetzt ist soweit alles ausgeklammert!

Nun wegen sin²(x) + cos²(x) = 1:

m² w^4 r0²(1) = F_sum²

Dann kann ich natürlich auch schreiben:

F_sum² = m² w^4 r0²

F_sum = sqrt (m² w^4 r0²)

F_sum = m w² r0

F_radial = m w² r

Der Vektor zeigt natürlich jetzt nach aussen. Ist also der Vektor für die Zentrifugalkraft. Ich hätte zu Beginn die Massepunktbeschreibenden Vektoren anders wählen müssen. Wäre aber sicher nicht einfacher geworden. Im rotierenden Bezugssystem ist aber F_radial = -Fz.

Also ist F_radial = -m w² r. Oder den Vektorpfeil andersrum zeichnen dann geht es auch mit +.

Und nun? Woher kam das Quadrat?

Das kam schon als ich die Geschwindigkeitsvektorkomponenten ableitete!

v_x(t) = wx0 * cos(wt)

v_y(t) = wy0 * (-sin(wt))

a_x(t) = w² x0 * (-sin(wt))

a_y(t) = w² y0 * (-cos(wt))

Da isses, ganz plötzlich!

Tja das liegt an der Eigenschaft der Sinusbewegung. Mehr kann man eigentlich nicht erklären. Durch das Bilden der inneren Ableitung multipliziert sich das Argument der Funktion, also ihr Innenleben mit dem schon vorhandenen w der als Faktor entstand als ich die Ortsableitung bildete.

Im Prinzip ist das wie E = 0.5 mv². Woher kommt das v²?

Na indem der Impuls nach der Geschwindigkeit integriert wurde! Das ist eben das elementare Verhalten mathematischer Funktionen. Die bilden gerade die Realität ab. Warum die Realität sich so benimmt weiß niemand!

Es hat einfach etwas mit der Bewegungsart zutun und ist aus einem Naturgesetz hergeleitet. Naturgesetze kann man nicht weiter reduzieren.

Betrachten wir eine Kreisbahn, die in der Zeichenebene liegt, und gegen den Uhrzeigersinn verläuft. Und davon nur den horizontalen (also links-rechts) Anteil der Geschwindigkeit. Für den vertikalen gilt nachstehende Überlegung gleichermaßen.

Um so einen Massepunkt auf einer Kreisbahn zu bewegen, musst Du während eines Umlaufs seine Geschwindigkeit erst von +v (z.B. nach links) auf -v (nach rechts) und dann wieder auf +v ändern.

Wenn Du jetzt die Geschwindigkeit verdoppelst, verdoppelst Du auch die erforderliche Geschwindigkeits-Änderung.

Gleichzeitig halbierst Du aber auch noch die dafür zur Verfügung stehende Zeit, da ein Umlauf nur noch halb so lange dauert.

Doppelte Geschwindigkeitsänderung in halber Zeit ergibt vierfache Beschleunigung. Wegen F = m * a dann auch vierfache Kraft.

Fr = m ∙ v² / r

Sei  v´= 2 * v, dann ist  Fr´= m ∙ (2 ∙ v)² / r = m ∙ 4 ∙ v² / r = 4 ∙ Fr

LG