Was ist der definitions und Wertebereich zu (x^2-4)*e^x?
Ich verstehe nicht wie man das bestimmt
2 Antworten
Für den maximalen Definitionsbereich, ist es hilfreich, die Definitionsbereiche von elementaren Funktionen zu kennen.
Eine ganzrationale Funktion ist auf ganz ℝ definiert, ebenso die Exponentialfunktion. Das Produkt zweier auf ganz ℝ definierter Funktionen ist wiederum auf ganz ℝ definiert. Brüche, Logarithmen, Wurzeln oder Potenzen mit nichtnatürlichem Exponenten könnten den Definitionsbereich dagegen einschränken.
Wie auch diese Funktion, sind die meisten Funktionen in der Schule stetig und auch differenzierbar. Für den Wertebereich genügt es das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen und falls die Funktion nicht in einer Richtung gegen -∞ und in der anderen Richtung gegen ∞ geht, gibt es ein globales Maximum oder Minimum, welche man bestimmen muss.
In diesem Beispiel gehen sowohl x² - 4 als auch eˣ gegen unendlich für x → ∞, also geht auch die gesamte Funktion gegen unendlich. Der Wertebereich ist also schon mal nach oben unbeschränkt. Für x → -∞ geht die Exponentialfunktion gegen 0 und da die Exponentialfunktion stärker gegen 0 geht als das Polynom, geht die gesamte Funktion gegen 0. Jetzt muss man nur noch überprüfen, ob es ein Minimum gibt, welches ≤ 0 ist. Die lokalen Minima findet man wie gewohnt durch Ableiten und Nullsetzen. Wenn das kleinste lokale Minimum ≤0 ist, ist dieses die untere Grenze vom Wertebereich.
Wenn es Definitionslücken oder Unstetigkeitsstellen gäbe, müsstest Du die einzelnen Abschnitte getrennt betrachten. Wenn auf einem Abschnitt der Wertebereich bereits ]-∞, ∞[ ist, gilt das dann bereits für den gesamten Definitionsbereich.
Ich habe geschrieben, für x → -∞ geht die Funktion gegen 0.
Das Minimum bestimmst du durch Ableiten und Nullsetzen der Ableitung. In diesem Fall liegt bei der Nullstelle der Ableitung das Minimum.
Also eˣ(x² + 2x - 4) = 0
x₁ = -1 - sqrt(5) oder x₂ = -1 + sqrt(5)
Beim ersten x liegt ein lokales Maximum und beim zweiten ein lokales Minimum vor, welches auch das globale ist. Die Wertemenge ist also [f(x₂), ∞ [ .
Das sind doch die extremstellen und nciht die définitions und Wertebereiche
Das sind doch die extremstellen
Richtig, und für den Wertebereich braucht man die globalen Extrema. Man muss wissen, was der kleinste bzw größte Wert ist, um die Grenzen für den Wertebereich anzugeben. Da die Funktion stetig und auf ganz ℝ definiert ist, handelt es sich hierbei um ein Intervall.
Beim Definitionsbereich würde ich ersteinmal von ganz R ausgehen und dann schauen, welche Werte nicht enthalten sind. Das sind jene Werte, die du nicht in deine Funktion einsetzen kannst, ohne gegen mathematische Gesetze zu verstoßen. Insbesondere darfst du nicht durch 0 teilen, aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen oder eine negative Zahl in eine Logarithmusfunktion einsetzen. Da alles hier nicht der Fall sein kann (kein Bruch, keine Wurzel, kein Logarithmus) ist der Definitionsbereich ganz R.
Zum Wertebereich: Da es keine Definitionslücken gibt und sie stetig ist, kannst du zum einen schauen, was die Funktion in Unendlichen macht und wo die Extrempunkte liegen: Die Funktion nimmt dann alle Werte zwischen dem Maximum und dem Minimum an.
Ich finde das hier ganz anschaulich erklärt: https://simpleclub.com/lessons/mathematik-wertebereich
Ich Weiss das es nicht R ist aber weiss nicht bis welche Zahl es geht