Warum kann man beim Heron-Algorithmus immer die Zahl 1 als Startwert nehmen?

Hallo! Wir haben in Mathe gerade Wurzel ziehen und sind gerade beim Heron-Algorithmus. Mich würde interessieren, warum man dabei unabhängig von der zu nähernden Wurzel immer die Zahl 1 als Startwert nehmen kann. Kann mir jemand helfen?

Answer 1

[Destranix]

Das Verfahren ist eben so ausgelegt, dass es für den Startwert 1 immer konvergiert, sprich in jedem Schritt der Lösung näher kommt (vereinfacht ausgedrückt).

Wenn du dir das Verfahren einmal veranschaulischst, wie hier auf Wikipedia:

https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren

Man hat ein Rechteck, verkürzt eine Seite und verlängert die andere Seite so, dass der Flächeninhalt erhalten bleibt.
Das kann man mit jedem beliebigem Rechteck machen, also auch mit dem, dessen eine Seite 1 ist.

Comments

[Ridinggirl14]

Super, danke 🤩

Answer 2

[Mathmaninoff]

Man kann sogar jede beliebige positive Zahl als Startzahl wählen, denn nach einem Schritt ist man immer größer oder gleich der anzunähernden Wurzel. Dies kann man nachrechnen:

Gegeben ist die rekursiv definierte Folge $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{a}{x_n} \right), \quad x_0 = 1$

Zeige, dass für beliebiges positives x_n die Ungleichung erfüllt ist:

$\left(\frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\right)^2 \geq a$

Multiplikation mit 4 auf beiden Seiten und erste binomische Formel:

$\Leftrightarrow x_n^2 + 2a + 2\frac{a^2}{x_n^2}\geq 4a$

Subtraktion von 4a auf beiden Seiten und erste binomische Formel zurück:

$\Leftrightarrow \left( x_n - \frac{a}{x_n} \right)^2 \geq 0$ Gleichheit gilt genau dann, wenn x_n = Wurzel a, ansonsten ist die unterste Ungleichung strikt erfüllt und somit auch die erste.

Ähnlich kann man zeigen, dass die Folge der x_n ab n = 1 streng monoton fällt.

Siehe hier den vollständigen Beweis.

https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren#Konvergenz

Hier eine Veranschaulichung:

Die Iterationsformel wird durch den roten Graphen dargestellt. In einem Iterationsschritt setzt man den aktuellen Wert als x ein und erhält als y den nächsten Wert. In der Grafik ist zu sehen, dass man immer über Wurzel a landet und Gleichheit nur für Wurzel a selbst besteht.

Für x > Wurzel a verläuft der rote Graph außerdem unterhalb der grünen Gerade y = x. Das heißt, dass in jedem weiteren Iterationsschritt der Wert kleiner wird, aber wie vorher gezeigt oberhalb Wurzel a bleibt.

Beispiel für a = 2 und x_0 = 0,5.

Mit x_1 = 2,25 ist man nach einem Schritt über Wurzel 2.

Weitere (gerundete) Werte laut Rechner:

1,5694444444444444
1,4142135625249321
1,414213562373095