Warum ist Fp= m × w^2 × r = m × v^2 /r?

Warum ist bei der Zentripetalkraft die winkelgeschwindigkeit^2 mal r gleich die bahngeschwindgkeit^2 durch r ?

Answer 1

[DrNumerus]

Winkelgeschwindigkeit ist analog zu der "normalen" Geschwindigkeit definiert: Als zurückgelegter Winkel pro Zeit:

$ω=\frac{\varphi}{t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,\ \ [ω]=\frac{^{\circ}}{s}$

Nun ist ein Winkel in einem Kreis multipliziert mit seinem Radius aber geometrisch auch genau die von dem Winkel zurückgelegte Strecke auf dem Kreisrand. Also:

$\varphi\cdot r=s\ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \ \ \omega=\frac{s}{r\cdot t}=\frac{v}{r}$

Diese zweite Gleichung sagt also, dass die Winkelgeschwindigkeit multipliziert mit dem Radius, die von dem Winkel auf dem Kreisrand beschreibende Geschwindigkeit darstellt. Eingesetzt in die Zentripetalkraft liefert dann:

$F_Z=m\cdot r\cdot\omega^2=m\cdot r\cdot\left(\frac{v}{r}\right)^2=m\cdot\frac{v^2}{r}$