Warum ist die Cauchy Bedingung nicht erfüllt?
Kann mir jemand die vorletzte Zeile erklären, ich verstehe nicht ganz genau, wie bei dieser harmonischen Reihe die Cauchy Bedingung nicht erfüllt ist. Außerdem verstehe ich die Schreibweise nicht und warum 1/2n steht.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen:)
1 Antwort
Was ist die Cauchy-Bedingung?
Für alle ε > 0 existiert ein N ∈ ℕ, sodass für alle n,m ≥ N gilt: |aₙ - aₘ| < ε.
Um zu zeigen, dass diese Bedingung nicht erfüllt ist, zeigt man dass die Negation gilt:
Es gibt ein ε > 0, sodass für alle N ∈ ℕ es n,m ≥ N gibt mit |aₙ - aₘ| ≥ ε.
In diesem Fall wird ε = 1/2 gewählt. Für jedes N ∈ ℕ kann man n = N und m = 2n wählen, sodass die Ungleichung |aₙ - aₘ| ≥ ε gilt, was in der vorletzten Zeile nachgerechnet wurde. Somit ist die Negation der Cauchy-Bedingung erfüllt und die Cauchy-Bedingung nicht.
Bei der Ungleichung in der vorletzten Zeile wird jeder Summand verkleinert oder bleibt gleich, weil der Nenner größer wird oder gleich bleibt. Darum ist auch die Summe kleiner oder gleich.
