Warum haben Photonen nur zwei Polarisationsfreiheitsgrade obwohl es sich um Spin 1 Teilchen sprich Vektorbosonen handelt?
Dann müssten die doch drei Freiheitgrade -1, 0, +1 haben
was ist mit den longitudinalen Photonen 0?
2 Antworten
Die Erklärung ist ein wenig lang.
Masselose Teilchen mit Spin haben keinen "Sz=0
"Zustand, weil sie keinen Spin haben, wie es bei massiven Teilchen der Fall ist. Sie haben eine Helizität, die der Wert der Projektion des Spinoperators auf den Impulsoperator ist. Der Grund dafür liegt in der Darstellungstheorie der Symmetriegruppe der Raumzeit, der Poincaré-Gruppe.
Um dies zu verstehen, müssen wir uns zunächst daran erinnern, dass "Spin" die Zahl ist, die irreduzible Darstellungen von SU(2)
, der Doppelhülle der Rotationsgruppe SO(3), kennzeichnet. In der relativistischen Quantenfeldtheorie, die zur Beschreibung von Photonen erforderlich ist, ist diese Rotationsgruppe jedoch nicht die Symmetriegruppe der Raumzeit, die wir darstellen müssen. Stattdessen müssen wir nach Darstellungen der mit der Identität verbundenen Komponente der Poincaré-Gruppe SO(1,3)⋊R4
suchen, d.h. nach Darstellungen der eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformation zusammen mit Translationen.
Für die endlich-dimensionalen Darstellungen der Lorentz-Gruppe haben wir nun das Glück, dass es eine "zufällige" Äquivalenz der Algebra-Darstellungen von so(1,3)
und su(2)×su(2) gibt, die es uns erlaubt, die endlich-dimensionalen Darstellungen, in denen klassische relativistische Felder transformieren, mit Paaren von Halbzahlen (s1,s2) zu bezeichnen, wobei si∈12Z eine einzelne su(2)-Darstellung bezeichnet. Die eigentliche Rotationsalgebra sitzt diagonal in dieser su(2)×su(2)-Darstellung, der physikalische Spin einer solchen Darstellung ist also s1+s2
. Dies bestimmt den klassischen Spin, der einem Feld zugeordnet ist.
Wie so oft, macht die Quantentheorie die Dinge komplizierter: Der Satz von Wigner impliziert, dass wir nun unitäre Darstellungen der Poincaré-Gruppe auf unserem Hilbert-Raum der Zustände suchen müssen. Mit Ausnahme der trivialen Darstellung, die dem Vakuum entspricht, ist keine der endlich-dimensionalen Darstellungen unitär (im Wesentlichen, weil die Poincaré-Gruppe nicht kompakt ist und keine kompakten normalen Untergruppen hat). Wir müssen uns also den unendlich-dimensionalen Darstellungen zuwenden, und hier haben wir nicht die Äquivalenz zwischen so(1,3)
und su(2)×su(2). Die Techniken, die zur Realisierung dieser Äquivalenz verwendet werden, setzen ausdrücklich die Endlichkeit der Darstellung voraus. Insbesondere gibt es keinen solchen Isomorphismus wie SO(1,3)≅SU(2)×SU(2)
unabhängig davon, wie oft man ähnliche Behauptungen in Physikbüchern lesen kann. Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie z. B. in dieser Antwort von Qmechanic.
Es stellt sich heraus, dass die Klassifizierung der unitären Darstellungen keine so einfache Aufgabe ist. Die vollständige Klassifikation wird Wigner-Klassifikation genannt, und es stellt sich heraus, dass es für die Konstruktion irreduzibler unitärer Darstellungen relevant ist, die kleine Gruppe zu betrachten, die dem Impuls eines Teilchens entspricht - die Untergruppe der Lorentz-Gruppe, die den Impuls des Teilchens invariant lässt. Für ein massives Teilchen ist dies SO(3)
und es stellt sich heraus, dass wir die unitäre Darstellung auch mit unserem bekannten Spin s bezeichnen können
.
Aber für ein masseloses Teilchen ist der Impuls (p,-p,0,0)
nicht invariant unter SO(3), sondern unter einer Gruppe namens ISO(2) oder SE(2), die im Wesentlichen SO(2) mit Translationen ist. Da SO(2) abelsch ist, hat sie nur eindimensionale irreduzible Darstellungen, die durch eine einzige Zahl h gekennzeichnet sind, die sich physikalisch als Eigenwert der Helizität herausstellt. Es gibt allgemeinere Fälle für ISO(2)
gibt es allgemeinere Fälle, die als kontinuierliche Spindarstellungen (CSR) bezeichnet werden, die aber bisher physikalisch nicht relevant waren.
Nun, diese einzelne Zahl h
kehrt ihr Vorzeichen unter Parität um, so dass wir für Teilchen, die mit klassischen Feldern mit Spin ungleich Null assoziiert sind, sowohl die h- als auch die -h-Darstellung nehmen müssen. Und das war's - masselose Teilchen der Helizität h haben die h⊕-h-Darstellung in ihrem Zustandsraum, keine Spin-Darstellung von SO(3). Die Auswertung des eigentlichen Spinoperators zeigt, dass unsere klassische Vorstellung von Spin mit der Zahl h übereinstimmt
.
Daher wissen wir, ohne etwas über das Photon oder das elektromagnetische Feld im Besonderen gesagt zu haben, dass masselose Teilchen mit Spin ungleich Null zwei Freiheitsgrade besitzen. Dies ist völlig allgemein und der Kern des Arguments, dass alle masselosen Vektorbosonen Eichbosonen sind:
Wir wissen, dass ein allgemeines Vektorfeld drei Freiheitsgrade hat - die unabhängigen Feldkomponenten, die sich unter der Lorentz-Transformation ineinander verwandeln, also drei unabhängige Sätze von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die sich ineinander verwandeln, und daher erwarten wir drei verschiedene Arten von Teilchenzuständen.
Aber die beiden Wirkungsgrade eines masselosen Spin-1-Teilchens stimmen damit nicht überein - also muss einer der Wirkungsgrade eines masselosen Vektorfeldes "unecht" sein. Die Art und Weise, wie d.o.f.s von Feldern "gefälscht" sind, besteht darin, dass das Feld ein Eichfeld ist und dass es 1 d.o.f. in der Freiheit gibt, eine Eichung zu wählen. Die Geschichte der Quantisierung der Eichtheorie - selbst im abelschen Fall des Elektromagnetismus - ist subtil, und Sie haben Recht, wenn Sie das Argument nicht blind akzeptieren, dass die beiden klassischen Polarisationen des Eichtfeldes - die longitudinale wird durch die Eichsymmetrie eliminiert - in der Quantentheorie zu verschiedenen Arten von Teilchenzuständen werden: Die Entkopplung der Zustände würde man naiv
Das liegt letztlich daran, dass Photonen sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen und deshalb keine Longitudinalschwingungen ausführen können.