Trägheitsmoment und F=m x a?

Wie lässt sie aus dem 2. Newtonschen Gesetz die Formel für das Trägheitsmoment bestimmen?

Answer 1

[DrNumerus]

Also herleiten kann man das nicht, weil das Trägheitsmoment einfach eine Definition ist. Ich kann aber versuchen zu motivieren, warum das eine sinnvolle Definition ist. Kinetische Energie ist ja gegeben mit

$E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}mv^2$

Wenn man aber ein punktförmiges Objekt betrachtet, welcher der Winkelgeschwindigkeit omega folgt und dabei im Abstand r vom Mittelpunkt entfernt ist, gilt dabei für seine Geschwindigkeit

$v\ =\ r\cdot\omega$

Wenn wir dies in die kinetische Energie einsetzen folgt

$E_{\mathrm{kin}}\ =\ \frac{1}{2}m\left(r\omega\right)^2=\frac{1}{2}mr^2\omega^2$

Wenn wir jetzt einen Körper anschauen, der nicht mehr punktförmig ist, aber um irgend eine Achse rotiert, so folgt ja, dass jeder infinitesimale Massenpunkt weiterhin einen eigenen Abstand zur Drehachse besitzt, aber alle Massenpunkte die selbe Winkelgeschwindigkeit haben. Also kann man schreiben

$E_{\mathrm{kin,\ gesamt}}=\frac{\omega}{2}\sum_i^{ }\mathrm{d}m_i\cdot r_i^2$

Da man hier infinitesimale Elemente aufaddiert, kann man die Summe in der letzten Gleichung auch als Integral schreiben:

$I=\int_M\ r^2\mathrm{\ d}m$

wobei dieses r eben der lokale Abstand zur Drehachse darstellt. Da dies eine Größe ist, die demnach oft vorkommt bei der Rotation von messebehafteten Körpern, hat man ihm einen eigenen Namen gegeben: Das Trägheitsmoment.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Physik Studium - Master in theoretischer Physik