Physik: Wellenlänge der Elektronen im Wasserstoffatom?
Hallo zusammen!
Es würde mich freuen, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte (Ansatz reicht).
"Berechnen Sie die Wellenlänge der Elektronen in Wasserstoffatom für den Grundzustand und den ersten Anregungszustand. Verwenden Sie dabei die Annahme des Bohr'schen Atommodells."
Vielen lieben Dank schonmal im Voraus!
2 Antworten
"Berechnen Sie die Wellenlänge der Elektronen in Wasserstoffatom für den Grundzustand und den ersten Anregungszustand.
Nach L.DE BROGLIE (1924) haben Elektronen, wie auch alle anderen Teilchen, einen Wellencharakter, wobei die Größen 'Energie' (E), 'Kreisfrequenz' (ω), 'Wellenlänge' (λ), 'Impuls' (|p› bzw. p⃑) und 'Wellenvektor' (|k› bzw. k⃑) in folgenden fundamentalen Beziehungen zueinander stehen:
(1.1) E = ħ·ω
(1.2) |p› = ħ·|k› = (ħ·2·π/λ)·|e.k›,
wobei ħ das Reduzierte PLANCK'sche Wirkungsquantum und c der Betrag der Lichtgeschwindigkeit ist, beides universelle Größen, und |e.k›=|e.p› ist ein Einheitsvektor, der die Ausbreitungsrichtung angibt. Eine solche Materiewelle, beschrieben durch die spätere Gleichung von E.SCHRÖDINGER (1926), ist allerdings im Allgemeinen keine ebene Welle mit einem einheitlichen, scharf bestimmten Wellenvektor, sondern stellt einen Überlagerungszustand dar.
Insbesondere im Atom hat ein Elektron eine feste Gesamtenergie (kinetische und potentielle Energie) und einen festen Drehimpuls |L›, nicht aber einen festen Impuls |p›, nicht einmal dessen Betrag p nach, und auch keine feste kinetische Energie, weil sie auch keine feste potentielle Energie haben, weil sie eben auch keinen festen Abstand vom Atomkern haben, sondern räumliche Orbitale um den Kern bilden. Deshalb haben sie tatsächlich auch keine bestimmte Wellenlänge, und das macht folgende Anmerkung entscheidend:
Verwenden Sie dabei die Annahme des Bohr'schen Atommodells."
Im ursprünglichen Atommodell von N. BOHR (1913) bewegt sich das Elektron nämlich auf Kreisbahnen mit dem Radius r und hat somit einen festen Abstand zum Atomkern, was eine feste potentielle Energie
(3.1) E[pot] = –ĸ·e²/r
mit der Coulomb-Konstante ĸ = 1/4πε₀ und der Elementarladung e (jedenfalls im Wasserstoffatom mit einem Proton) und, weil die Gesamtenergie ja wohlefiniert ist, auch eine feste kinetische Energie bedeutet, und die ist bei Kreisbahnen in (1/r)-Potentialen
(3.2) E[kin] = p²/2m = –½·E[pot] = ĸ·e²/2r.
Die Idee ist die, dass die sogenannte Wirkung (ein wichtiger Begriff aus der klassischen Mechanik) eines Umlaufs ein ganzzahliges Vielfaches des PLANCK'schen Wirkungsquantums h=2πħ sein muss, damit die Bahn "erlaubt" sein kann.
Die Annahme solcher "erlaubten" Bahnen war erst einmal ad hoc, d.h. es gab anfangs keine einleuchtende physikalische Erklärung dafür. Die kam später in Gestalt des oben erwähnten, von DE BROGLIE postulierten Wellencharakters: Eine Bahn ist dann stationär, wenn das Elektron eine stehende Welle auf dem Orbit bildet, also
(4.1) 2·π·r = n·λ, n ∈ ℕ
ist. Nun ist, im NEWTON-Limes,
(4.2) E[kin] = ĸ·e²/2r = p²/2m = ħ²·k²/2m = 2·π²·ħ²/mλ²,
was sich mit (4.1) entweder zu
(4.3) r = ħ²n²/ĸ·e²m = 4πε₀ħ²n²/e²m
oder zu
(4.4) λ = 2π·nħ²/ĸe²m = 8π²ε₀nħ²/e²m
umformen lässt. Du kannst auch unter
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Bohr.html
Beispiele dafür sehen, oder Du googelst "BOHR DE BROGLIE" und gehst auf die Bilder.
Vielen lieben Dank für deine ausführliche Antwort! Das hat mir sehr geholfen.
Bin zwar kein Physiker, aber vielleicht hilft dir folgender Link:
Bitte, aber wie ich sehe hat SlowPhil sich ja reichlich mühe für deine Frage gegeben ;)
Auf der Seite war ich schon, aber trotzdem vielen Dank für deine Antwort! :)