Netzwerkanalyse mittels Überlagerungssatz?

Irgendwie verstehe ich nicht wie ich das mit dem Überlagerungssatz bei der Aufgabe funktionieren soll. Könntet mir hier bitte jemand helfen. Danke schonmal im vorraus

Answer 1

[AMG38]

Beim Überlagerungsverfahren werden peu a peu die Ströme der einzelnen Quellen berechnet. Dazu wird immer nur eine Quelle aktiviert bzw. die restlichen deaktiviert.

Die Spannungsquelle wird dabei kurzgeschlossen bzw. durch eine Kurzschlussbrücke ersetzt, die Stromquelle hingegen in Leerlauf geschaltet bzw. offen betrieben, das ganze aber Schrittweise und einzeln.

Zur Aufgabe: Du sollst die Spannung U zwischen AB ermitteln, also U_AB.

Im ersten Schritt (Foto) hat man sich, wie du sehen kannst entschieden, zunächst die Stromquelle zu entfernen. Jetzt ist nur Uq1 aktiv. In dieser Schaltung ergibt sich die gesuchte Spannung:

$U_{AB}=U_{q1}-I_{Gesamt}\cdot R_1$

Den Gesamtstrom bekommst du einfach raus, indem du den Gesamtwiderstand der Schaltung ermittelst:

$I_{Gesamt}=\frac{U_{q1}}{R_{Gesamt}},\ \ \ mit\ R_{Gesamt}=R_1+\left[R_2\left|\right|\left(R_3+R_4\right)\right]$

Die Indizes der Widerstände mögen dir für das Verständnis hilfreich sein, aber ohne Indizes vereinfacht sich die Gleichung, da es nur "R" oder vielfache davon gibt. Hier nur als Beispiel:

$R_{Gesamt}=R+\left[R\right|\left|\left(R+2R\right)\right]=R+\frac{R\cdot3R}{R+3R}=R+\frac{3R^2}{4R}=R+\frac{3}{4}R=\frac{7}{4}R$

Nun hast du alle bekannten Größen und kannst U_AB ausrechnen. Das ist U_AB_1. Die 1 steht für das Netzwerk 1 mit nur Uq1 aktiv.

Jetzt gehst du die Schaltung auf gleiche Weise an, nur dass jetzt Uq1 durch einen Kurzschlussersetzt und die Stromquelle Iq2 aktiviert wird.

Hier ergibt sich die gesuchte Spannung U_AB_2 wie folgt:

$U_{AB}=R_2\cdot I_2=R\cdot I_2$

Erinnerung: R2 = R

Dir fehlt also der Strom I2 und gegeben hast du den Gesamtstrom Iq2. Hier kannst du mit dem Stromteiler arbeiten. Zur Gedankenhilfe:

Von rechts aus betrachtet fließt ein Teil des Stromes durch den ersten Widerstand R4, der andere Teil durch R3. Dieser durch R3 fließende Strom ist der Gesamtstrom für den linken Stromteiler, der aus R1 und R2 besteht.

$\frac{\text{Teilstrom}}{\text{Gesamtstrom}}=\frac{\text{Vom}\ \text{Teilstrom}\ \text{nicht}\ \text{durchflossener}\ \text{Teilwiderstand}}{\text{Ringwiderstand}\ \text{der}\ \text{}}$

Angewendet auf die Schaltung:

$\frac{I_2}{I_3}=\frac{R_1}{R_1+R_2}$

Nach Umstellung:

$I_2=I_3\cdot\frac{R_1}{R_1+R_2}=I_3\cdot\frac{R}{R+R}=I_3\cdot\frac{1}{2}$

Wie kommst du auf I3? Indem du das gleiche Prinzip anwendest und die Widerstände R1, R2 und R3 zusammenfasst. Dadurch entsteht eine Parallelschaltung aus R123 und R4. Hier wendest du wieder den Stromteiler an.

$R_{123}=\left(R_1\right|\left|R_2\right)+R3=\left(R\right|\left|R\right)+R=\frac{3}{2}R$

Mit dem Stromteiler, wo jetzt Iq2 der Gesamtstrom ist:

$I_3=I_{q2}\cdot\frac{R_4}{R_{123}}=I_{q2}\cdot\frac{2R}{\frac{3}{2}R}=I_{q2}\cdot\frac{4}{3}$

Setzt du jetzt Iq2 in deine Gleichung für I2 ein, kommst du auf:

$I_2=\left(I_{q2}\cdot\frac{4}{3}\right)\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{3}I_{q2}$

Das kannst du jetzt in deine Gleichung für U_AB_2 einsetzen.

Damit hast du nun die Spannung U_AB einmal herrührend von Uq1 und einmal herrührend von Iq2 ermittelt.

Diese Spannungen überlagerst du nun.

Comments

[Dennion4]

Dankeschön für die ausführliche Erklärung :)