Monotonie und Beschränktheit einer Folge?
Hallo kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?
ich habe alle Aufgaben teilweise gelöst jedoch bin ich mir nicht sicher ob ich sie richtig gelöst habe, da ich nicht wirklich weiss ob meine Ansätze richtig sind.
Bei der Monotonie habe ich für mich den allgemeinen Ansatz gefunden jedoch weiss ich nicht wie man es bei der Beschränktheit richtig angehen soll.
bei der c) habe ich z.B n> -2,5 raus und weiss jetzt nicht ganz was ich damit anfangen soll.
Kann ich jetzt einfach behaupten dass -2,5 <0, d.h. n> -2.5 <0?? Das sieht total falsch aus😢
Danke im Voraus!
1 Antwort
Fangen wir bei Monotonie an: Allgemein ist eine Folge a monoton steigend, wenn stets gilt:
Das ist durchaus der allgemeine Ansatz, um Monotonie zu beweisen, aber es gibt einige Dinge, die man dennoch im Hinterkopf behalten sollte. Eines dieser Dinge ist: Wenn eine Folge alternierend ist oder alternierende Teile besitzt, ist das erst einmal verdächtig!
Beispiel: Die alternierende Folge (-1)^n ist nicht monoton steigend oder fallend, weil sie ständig zwischen -1 und 1 wechselt, also abwechselnd steigt bzw. fällt.
Und du hast jetzt bei c) so einen alternierenden Teil darin, nämlich (-2)^n. Bevor du den allgemeinen Ansatz nutzt, frag dich ob du vllt eine ähnliche Argumentation benutzen kannst, um Monotonie zu widerlegen.
Weiter geht's mit Beschränktheit: Die Folge ist nach oben beschränkt, wenn du eine Zahl s findest, sodass stets gilt:
Hier kann man sich ab und an das Leben einfacher machen: Wenn die Folge monoton fallend ist, werden die Werte ja nie größer als der erste Folgenwert. Also ist der bereits eine obere Schranke, die ich für mein s nutzen könnte. D.h. jede monoton fallende Folge ist nach oben beschränkt.
Analoges gilt natürlich für monoton steigende Folgen und untere Schranken.
Bei c) haben wir (Achtung, Spoiler) keine Monotonie. Da wir hier diesen alternierenden Term drin haben, solltest du einmal untersuchen, wie sich die Folge für große gerade und für große ungerade Zahlen n verhält. Können die Werte beliebig groß bzw. beliebig klein werden?
Zuletzt eine Anmerkung zum Kürzen:
Du hast mehrmals Rechnungen der folgenden Sorte:
Und hier kürzt du jetzt irgendwie das linke d und das rechte b heraus. Das ist aber nicht valide! Ansonsten wäre ja:
Du kannst aber leicht nachrechnen, dass 15/3 nicht gleich 11 ist.
Der Fehler: Man darf nicht einfach einen Faktor aus einem einzelnen Summanden herauskürzen. Du musst den Faktor in jedem Summanden herauskürzen:
Daher lässt sich leider gar nicht so viel kürzen, wie du es in deinen Rechnungen tust.
Jo, diese Schranken funktionieren, wenn n = 0 bei euch keine natürliche Zahl ist.
(Hinweis: 8/5 ist ein wenig willkürlich. Es ist zwar eine obere Schranke, aber nicht die kleinste obere Schranke - die liegt nämlich bei 34/25 [falls n = 0 keine natürliche Zahl ist] bzw. bei 2 [falls n = 0 eine natürliche Zahl ist].)
Wie ist das aber mit den Schranken bei nicht monotonen Folgen? Kann ich da einfach mit Werten rumprobieren und schauen, welcher Wert niemals überschritten wird bzw ab welchem Wert es nie kleinee wird?
joa, im Zweifelsfall ist Werte einsetzen, bis einem etwas auffällt bzw einem eine Idee kommt, ein ganz guter Ansatz.
Aber Vorsicht: Du kannst zwar einfach Werte ausprobieren, um ein Gefühl für die Folge zu kriegen und vllt sogar um eine Vermutung aufzustellen, aber du musst diese Vermutung dann natürlich auch beweisen. Ansonsten könnte es ja theoretisch sein, dass deine "obere Schranke" irgendwann bei Folgenglied Nummer 125236312 doch noch überschritten wird.
Hmm ja das stimmt vielen Dank. Dann muss ich mir das wohl besser anschauen und gucken wie ich das beweise🧐🧐
ich danke dir vielmals das war jetzt echt sehr hilfreich und verständlich erklärt! Ich rechne mal so wie du es gesagt hast:)
Könntest du mir vielleicht bei der oberen und unteren Schranke von a) weiterhelfen? Ich hab da nämlich als obere Schranke 8/5 und als untere Schranke 2/5. Stimmt das so? Wäre echt lieb wenn du mir weiterhelfen könntest:)