Monotonie für f(x) am Graphen von f'(x) ablesen?
Hey Leute. Ich schreibe demnächst eine Mathearbeit und verstehe nicht, wie man die Monotonie von f(x) bestimmt, wenn man nur den Graphen der ersten Ableitung hat?! Könnt ihr mir helfen oder das erklären? Danke im vorraus. LG Nutellalover(in) aka Kathi
3 Antworten
Die erste Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) gibt die Steigung von f(x) an.
Befindet sich "die Kurve" von f'(x) an der Stelle x über der x-Achse, dann ist f(x) an der Stelle x steigend. Dort wo f'(x) die x-Achse schneidet ist die Steigung 0, also f(x) hat einen Scheitel an dieser Stelle (Übergang von Steigung --> Fall oder umgekerht). Und wenn f'(x) unter der x-Achse ist, dann ist f(x) fallend.
Überleg doch erstmal, was die Ableitung ist. Dabei handelt es sich um sie Steigung in einem Punkt. Die Nullstellen der ersten Ableitung sind die Punkte der Funktion, wo die Steigung der Funktion 0 ist. Nun zur Monotonie
Streng Monoton steigend heißt das in einem Intervall jeder x Wert der größer als ein anderer ist auch in der Funktion einen größeren y-Wert ergibt. Wenn du dir das an einem Graphen veranschaulichen willst würde das bedeuten, dass der Graph je weiter er rechts ist höher ist, also steigt. Monoton heißt in diesem Kontext, dasser nicht zwischendrin einmal fallen darf und streng bedeutet, dass er auch nicht gleich bleiben darf (wagerechte linie im graphen) sondern in einem "strengen" Sinne ansteigt.
So, nun weiter in deiner Beobachtung. Es resulitiert hieraus das du nur die Intervalle zwischen den Nullstellen der Ableitung betrachten musst. Angenommen ich habe zwei Nullstellen der Ableitung, bspw. 5 und 6 und dazwischen liegt keine nullstelle mehr, dann weiß ich das die Funktion zwischen 5 und 6 entweder komplett positiv oder komplett negativ für alle Werte sein muss. Ist die Ableitung in diesem Intervall komplett positiv, so bedeutet dies das die Steigung der Ausgangsfunktion komplett positiv ist und somit Streng monoton steigend (sms). Ist die Ableitung allerdings negativ auf dem Ableitung Intervall, ist die Ausgangsfunktion auf dem Intervall streng monoton fallend.
Alsoooooo bei deinen Überlegungen musst du die Intervalle zwischen den Nullstellen der Ableitung betrachen und gucken ob die Ableitung dort kleiner oder größer als Null ist. Das gibt dann an, ob die Funktion Streng mononton steigt (größer 0) oder eben streng monoton fällt (kleiner 0)
Hallo,
wenn Du Dir einen Funktionsgrahphen als einen Weg vorstellst, dann ist die Funktion monoton, wenn es entweder nur bergauf und geradeaus geht oder nur bergab und geradeaus. Ist sie streng monoton, geht es entweder nur bergauf oder nur bergab.
Was bedeutet das für die erste Ableitung, die die Steigung an jeder Stelle des Funktionsgraphen angibt? Ist die Funktion monoton steigend, bewegt sich die Ableitung ausschließlich auf oder oberhalb der x-Achse; ist die Funktion monoton fallend, bleibt die Ableitung auf oder unterhalb der x-Achse.
Ist die Funktion streng monoton steigend, bleibt der Graph der ersten Ableitung immer oberhalb der x-Achse, ohne diese jemals zu schneiden oder zu berühren; ist die Funktion streng monoton fallend, bleibt der Graph der ersten Ableitung immer unterhalb der x-Achse, ohne diese jemals zu schneiden oder zu berühren.
Herzliche Grüße,
Willy